Индекс 1-формы на вещественной фактор-особенности

摘要

Изолированная особая точка (нуль) 1-формы на дифференцируемом многообразии имеет естественный инвариант индекс. Для ростка ω= ∑fidxi 1-формы на R~n в начале координат индекс ind(ω; R~n,0) это то же самое, что локальная степень отображения F = (f_1,...,f_п) : (R~n, 0) → (R~n, 0) или индекс векторного поля в начале координат. Если 1-форма ωна (R~n, 0) аналитическая и ее комнлексификация ω_c на (С~n,0) имеет изолированную особую точку в начале координат, имеется алгебраическая формула для индекса ind(ω;R~n,0) (см. [3], [4]). ПустьΩ_R~n,0 пространство ростков аналитическихn-форм на (R~n,0). (Как векторное пространство Ω_R~n,0 изоморфно кольцу ￡R~n,0 ростков аналитических функций на (R~n,0). Изоморфизм определяе'гся выбором формы объема па (R~n,0).) Пусть Ω_ω:= Ω~n_R~n,0/ω ∧ Ω~(n-1)_R~n. Это конечномерное век торное пространст во, изоморфное (как векторное прост ранст во) алгебре Q_F:R~n,0/{f_1,...,f_n); изоморфизм определен с точностью до автоморфизма алгебры Q_F, индуцированного умножением на обратимую функцию. ПустьΩ~C_ω= Ω~n_C~n,0/ωC ∧Ω~(n-1)_C~n,0 комнлексификация пространства Ω_ω. Пространство Ω~C_ω наделено (каноническим.) невырожденным спариванием вычета. В_ω, определенным следующим образом: для двух элементов ξ_i, i=1,2, представленных n-формами Φ_i(x)dx, где dx:=dx_1 ∧···∧ dx_n, Φ_i(x)s∈ ΦC~n.0， имеет место формула где интегрирование ведется по циклу, заданному уравнениями ||f_k(х)|| = δ_k с положительными достаточно малыми δ_k. Ограничение спаривания В_ ωна вещественную часть Ω_ω даст (вещес'гвенное) спаривание вычета В_ω: Ω_ω×Ω_ω →R. Формула Айзенбада Левина Химшиашвили ([3], [4]) утверждает, что индекс ind(ω;R~n,0) равен сигнатуре спаривания В_ω.