Точное определение сети как геометрической реализации графа мы дадим ниже, а сейчас назовем сетью в метрическом пространстве X всякое связное непустое множество N is contained in X, представимое в виде объединения конечного числа спрямляемых вложенных кривых, внутренности которых попарно не пересекаются. Здесь вложенной кривой мы называем образ отрезка при непрерывном и взаимно однозначном на внутренности отрезка отображении. Длиной сети назовем сумму длин кривых, объединением которых она является. Ясно, что длина сети определена корректно, т.е. не зависит от выбора разбиения сети на кривые. Пусть D - конечное подмножество точек в X. Сеть N0 назовем кратчайшей сетью с границей D в X, если D is contained in N0 и любая сеть N' в X, такая что D is contained in N', имеет длину не меньше, чем длина N0. Сеть N0 назовем локально-минимальной сетью с границей D в X, если D is contained in N0 и для любой точки P ∈ N0 и любой ее достаточно малой замкнутой окрестности B_P, такой что множество N0 ∩ B_P связно, это множество N0 ∩ B_P является кратчайшей сетью с границей (D ∩ B_P) ∪ (partial deriv B_P ∩ N0), где через partial deriv B_P обозначена граница окрестности B_P.
展开▼
