РАСШИРЕННОЕ ЭНИОННОЕ ФОКОВСКОЕ ПРОСТРАНСТВО И НЕКОММУТАТИВНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ТИПА МЕЙКСНЕРА В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

摘要

Пусть $u$ – конечная мера на $mathbb R$, преобразование Лапласа которой является аналитической функцией в окрестности нуля. Энионный белый шум Леви на $(mathbb Rd,dx)$ – это некоторое семейство некоммутативных операторов $langleomega,arphiangle$ на энионном фоковском пространстве над $L2(mathbb Rdimesmathbb R,{dxotimesu})$. Здесь $arphi=arphi(x)$ – элемент пространства основных функций на $mathbb Rd$, а ${omega=omega(x)}$ понимается как операторнозначное распределение на $mathbb Rd$. Пусть $L2(au)$ – некоммутативное $L2$-пространство, порождаемое алгеброй многочленов от переменных $langle omega,arphiangle$, где $au$ – вакуумное ожидание. Мы строим некоммутативные ортогональные многочлены в $L2(au)$ вида $langle P_n(omega),f{(n)}angle$, где $f{(n)}$ – основная функция на $(mathbb Rd)n$. Используя эти ортогональные многочлены, мы конструируем унитарный изоморфизм $U$ между $L2(au)$ и расширенным энионным фоковским пространством над $L2(mathbb Rd,dx)$, которое обозначается $mathbf F(L2(mathbb Rd,dx))$. Обычное энионное фоковское пространство над $L2(mathbb Rd,dx)$, обозначаемое $mathscr F(L2(mathbb Rd,dx))$, является подпространством пространства $mathbf F(L2(mathbb Rd,dx))$. Мы показываем, что равенство $mathbf F(L2(mathbb Rd,dx))=mathscr F(L2(mathbb Rd,dx))$ имеет место тогда и только тогда, когда мера $u$ сосредоточена в одной точке (т. е. в гауссовском или пуассоновском случае). Пользуясь унитарным изоморфизмом $U$, мы реализуем операторы $langle omega,arphiangle$ как (трехдиагональное) поле Якоби в $mathbf F(L2(mathbb Rd,dx))$. Строится класс типа Мейкснера энионного белого шума Леви, для которого соответствующее поле Якоби в $mathbf F(L2(mathbb Rd,dx))$ имеет относительно простую структуру. Именно, каждый энионный белый шум Леви типа Мейкснера характеризуется двумя параметрами: $lambdainmathbb R$ и $etageqslant 0$. В заключение мы получаем представление $omega(x)=partial_xdagger+lambda partial_xdaggerpartial_x+ etapartial_xdaggerpartial_xpartial_x+partial_x$, где $partial_x$ и $partial_xdagger$ – операторы уничтожения и рождения в точке $x$. Библиография: 57 названий.