Homoclinic Solutions for Second Order Systems with Expansive Time Dependence

摘要

We prove the existence of homoclinic solutions for second order Lagrangian systems of the type —ue + u = α(t)▽G(u) in R~N where G ∈ C~2(R~N, R) is superquadratic and α ∈ C~1(R, R) satisfies the condition lim_(∣t∣→ ∞) α(t) = 0. The method is variational: solutions being found as critical points of a suitable action functional. We prove the existence of at least one nontrivial critical point using the analysis of problems "at infinity" and level comparison arguments.%Si dimostra l'esistenza di almeno una soluzione omoclina per sistemi Lagrangiani della forma —ue + u = α(t)▽G(u) in R~N dove G ∈ C~2(R~N, R) è superquadratica e α ∈ C~1(R, R) soddisfa la condizione lim_(∣t∣→ ∞) α(t) = 0. Il metodo è variazionale: le soluzioni omocline del sistema risultano essere punti critici di un opportuno funzionale d'azione. Si dimostra l'esistenza di almeno un punto critico non banale usando l'analisi dei problemi "all'infinito" e argomenti di confronto sui livelli.