CLASSIFICATION OF ARNOLD-BELTRAMI FLOWS AND THEIR HIDDEN SYMMETRIES

摘要

Β контексте математической гидродинамики мы рассматриваем теоретико-групповую структуру, лежащую в основе так называемых АВС-потоков, введенных Бель-трами, Арнольдом и Чайлдрессом. Главные ориентиры - теорема Арнольда, утверждающая, что для потоков на компактных трехмерных многообразиях М_3 только поля скоростей, которые удовлетворяют уравнению Бельтрами, способны произвести хаотические траектории, и современная топологическая концепция контактных структур, каждая из которых характеризуется контактной одноформой, также удовлетворяющей уравнению Бельтрами. Мы аргументируем, что уравнение Бельтрами является не чем иным, как уравнением на собственные функции оператора первого порядка Лапласа-Бельтрами ★_g d, и может быть решено при помощи проверенного временем гармонического анализа. Рассматривая в качестве многообразия М_3 тор T~3, построенный как R~3/Λ, где Λ - кристаллотрафическая решетка, мы представляем общий алгоритм построения рещений уравнения Бельтрами, который базируется на орбитах точечной группы (В)_Λ симметрии решетки при действии на три-векторы импульсов дуальной решетки ~*Λ. Вдохновленные существующим построением кристаллотрафи-ческих пространственных групп, мы вводим новое понятие универсальной классифицирующей группы ВЦ_Λ, которая содержит все пространственные группы как подгруппы. Мы показываем, что собственные функции оператора ★_g d естественным образом группируются в неприводимые представления фуппы ВЦ_Λ, и, посредством систематического использования правил их разложения относительно различных возможных под-фупп H_i is contained in ВЦ_Λ, мы ищем и находим поля Бельтрами с иетривиальными скрытыми симметриями. В случае кубической решетки точечная группа симметрии - правильная октаэдральная фуппа О_(24), а универсальная классифицирующая фуппа ВЦ_(cubic)-конечная фуппа G_(1536) порядка |G_(1536)| = 1536, которую мы изучаем во всех деталях, строя все ее 37 неприводимых представлений и их характеры. Мы показываем, что O_(24)-орбиты в кубической решетке фуппируются в 48 классов эквивалентности, а параметры соответствующих векторных полей Бельтрами заполняют все 37 неприводимых представлений фуппы G_(1536). Таким образом, мы получаем исчерпывающую классификацию всех обобщенных АВС-потоков и их скрытых симметрий. Мы делаем несколько концептуальных замечаний относительно необходимости создания полевой теории, содержащей уравнение Бельтрами как уравнение поля и/или ипстантонное уравнение, и о возможной связи потоков Арнольда-Бельтрами с (суперсимметричными) калибровочными теориями Черна-Саймонса. Мы также предлагаем линейное обобщение уравнения Бельтрами на случай нечетномсрных пространств более высоких размерностей, которое отличается от нелинейного, предложенного Арнольдом, и, возможно, связано с М-теорией и геометрией компактификаций с потоками.%In the context of mathematical hydrodynamics, we consider the group theory structure which underlies the so-called ABC-flows introduced by Beltrami, Arnold and Childress. Main reference points are Arnold's theorem stating that, for flows taking place on compact three manifolds М_3, the only velocity fields able to produce chaotic streamlines are those satisfying the Beltrami equation and the modern topological conception of contact structures, each of which admits a representative contact one-form also satisfying the Beltrami equation. We advocate that the Beltrami equation is nothing else but the eigenstate equation for the first order Laplace-Beltrami operator ★_g d, which can be solved by using time-honored harmonic analysis. Taking for М_3 a torus T~3 constructed as R~3/Λ, where Λ is a crystallographic lattice, we present a general algorithm to construct solutions of the Beltrami equation which utilizes as main ingredient the orbits under the action of the point group (В)_Λ of three-vectors in the momentum lattice ~*Λ. Inspired by the crystallographic construction of space groups, we introduce the new notion of a Universal Classifying Group ВЦ_Λ which contains all space groups as proper subgroups. We show that the ★_g d eigenfunctions are naturally arranged into irreducible representations of ВЦ_Λ, and by means of a systematic use of the branching rules with respect to various possible subgroups H_i is contained in ВЦ_Λ, we search and find the Beltrami fields with nontrivial hidden symmetries. In the case of the cubic lattice, the point group is the proper octahedral group O_(24), and the Universal Classifying Group ВЦ_(cubic) is a finite group G_(1536) of order |G_(1536)| = 1536 which we study in full detail deriving all of its 37 irreducible representations and the associated character table. We show that the O_(24) orbits in the cubic lattice are arranged into 48 equivalence classes, the parameters of the corresponding Beltrami vector fields filling all the 37 irreducible representations of G_(1536). In this way we obtain an exhaustive classification of all generalized ABC-flows and of their hidden symmetries. We make several conceptual comments about the need of a field theory yielding the Beltrami equation as a field equation and/or an instanton equation and on the possible relation of Arnold-Beltrami flows with (supersymmetric) Chem-Simons gauge theories. We also suggest linear generalizations of the Beltrami equation to higher odd dimensions that are different from the nonlinear one proposed by Arnold and possibly make contact with M-theory and the geometry of flux compactifications.