РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПЕРЕНОСЕ МАССЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ

摘要

We investigate system of the elliptic quasi-linear equations of first order which describes the process of mass transfer in a multicomponent mixture under the action of an electric field. These equations simulate the zonal electrophoresis (fractionation of a multicomponent mixture) in the case when the concentration of mixture components is enough large. Using the variant of the hodograph method, based on the conservation laws, the implicit solution of the problem with the initial data is constructed. The analytical-numerical method recovering the explicit solutions of the problem is presented. This method allows us to transform the solution problem for equations in partial derivatives to the problem for ordinary differential equations. We study the evolution of solutions over time for spatially periodic initial data, which are typically used to describe the behavior of the unstable quasi-gaseous continuous media similar to the Chaplygin gas. We describe the behavior of the solution with the help spatial isoline and isochrone (temporary isoline). Additionally, we analyze the qualitative changes of the solution structures using the Jacobian of the hodograph transformation. The presented results allow us to conclude that the spatially periodic initial data are transformed into stationary cnoidal waves.%Исследована система эллиптических квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка, описывающих процесс переноса массы в многокомпонентной смеси под действием электрического поля. Эти уравнения моделируют зональный электрофорез (фракционирование многокомпонентной смеси) в случае, когда концентрации компонент смеси достаточно большие. При помощи варианта метода годографа, основанного на законах сохранения, построено неявное решение задачи с начальными данными. Представлен аналитико-численный метод восстановления явного решения. Этот метод позволяет сводить решение задачи для уравнений в частных производных к задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование эволюции решения с течением времени представлено для пространственно-периодических начальных данных, которые обычно используются для описания поведения неустойчивых квазигазовых сред типа газа Чаплыгина. Поведение решения описывается при помощи пространственных изолиний и изохрон (временных изолиний). Дополнительно приведен анализ качественных изменений структур решений с помощью якобиана преобразования годографа. Представленные результаты позволяют сделать вывод о том, что с течением времени пространственно-периодические начальные данные преобразуются в структуры из кноидалъных неподвижных волн, как и для неустойчивых сплошных сред типа газа Чаплыгина.