A Boltzmann-based finite volume algorithm for surface water flows on cells of arbitrary shapes

摘要

Un modèle conservatif tridimensionnel explicite en volumes finis pour des équations en eau peu profonde est formulé et examiné. L'algorithme pour le flux de la masse et des quantités de mouvement sur la surface de contrôle du volume fini est obtenu à partir de la solution de Bhatnagar-Brut-Krook (BGK) de l'équation de Boltzmann. À la différence des méthodes classiques, les schémas de BGK n'exigent pas d'éclatement ad hoc de l'advection et de la diffusion. Le schéma de BGK est du second ordre dans le temps et l'espace. La formulation de l'algorithme de BGK est conçu pour une cellule de forme irrégulière arbitraire, mais les essais sont conduits en utilisant une grille structurée des cellules quadrilatères. Deux solveurs approximatifs de Riemann, le schéma de HLLC et le schéma de Hancock-HLLC à deux étages, où HLL est mis pour Harten, Lax et van Leer et C pour interface de discontinuité, sont également utilisés. La précision du second ordre de HLL et des schémas de Hancock-HLLC est obtenue par l'approche MUSCL, où MUSCL est l'acronyme de "Monotone Upstream-centered Schemes for Conservation Laws". La formulation des données pour chacun des trois schémas est effectuée par le limiteur de van Leer. Les cas test impliquent des chocs forts et ondes d'expansion. La précision des schémas est mesurée en utilisant une norme d'erreur absolue et une norme d'erreur oscillatoire. Le schéma de HLLC est fortement oscillant pour un nombre de Courant supérieur à 0.5, tandis que les schémas BGK et de Hancock-HLLC sont applicables pour des nombres de Courant jusqu'à 1.0. Pour une valeur donnée du temps d'unité centrale (unité centrale de traitement), l'erreur absolue de Hancock-HLLC est légèrement plus petite que celle du BGK tandis que l'erreur de caractère oscillatoire de BGK est tout à fait proche de celle de Hancock-HLLC.%An explicit two-dimensional conservative finite volume model for shallow water equations is formulated and tested. The algorithm for the mass and momentum fluxes at the control surface of the finite volume is obtained from the solution of the Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) Boltzmann equation. Unlike classical methods, BGK schemes do not require an ad-hoc splitting of advection and diffusion. The BGK scheme is second order in both time and space. The formulation of the BGK algorithm is performed for a cell of arbitrary irregular shape, but the test cases are conducted using a structured grid of quadrilateral cells. Two approximate Riemann solvers, the HLLC scheme and the two-stage Hancock-HLLC scheme, where HLL stands for Harten, Lax and van Leer and C stands for contact discontinuity, are also considered. The second-order accuracy of HLL and Hancock-HLLC schemes is obtained by MUSCL approach, where MUSCL is the acronym for Monotone Upstream-centered Schemes for Conservation Laws. The data reconstruction for all three schemes is carried out by the Van Leer limiter. The test cases involve strong shocks and expansion waves. The accuracy of the schemes are measured using an absolute error norm and a waviness error norm. The HLLC scheme is highly oscillatory for Courant number larger than 0.5, while the BGK and the Hancock-HLLC schemes are applicable for Courant numbers as high as 1.0. For a fixed value of the central processing unit (CPU) time, the absolute error of the Hancock-HLLC is slightly smaller than that of the BGK while the waviness error of the BGK is quite close to that of Hancock-HLLC.