Minimax-Optimal Strength of Statistical Evidence for a Composite Alternative Hypothesis

摘要

While the likelihood ratio measures statistical support for an alternative hypothesis about a single parameter value, it is undefined for an alternative hypothesis that is composite in the sense that it corresponds to multiple parameter values. Regarding the parameter of interest as a random variable enables measuring support for a composite alternative hypothesis without requiring the elicitation or estimation of a prior distribution, as described below. In this setting, in which parameter randomness represents variability rather than uncertainty, the ideal measure of the support for one hypothesis over another is the difference in the posterior and prior log-odds. That ideal support may be replaced by any measure of support that, on a per-observation basis, is asymptotically unbiased as a predictor of the ideal support. Such measures of support are easily interpreted and, if desired, can be combined with any specified or estimated prior probability of the null hypothesis. Two qualifying measures of support are minimax-optimal. An application to proteomics data indicates that a modification of optimal support computed from data for a single protein can closely approximate the estimated difference in posterior and prior odds that would be available with the data for 20 proteins.%Le rapport de vraisemblance mesure l'évidence statistique, par rapport à une hypothèse nulle, d'une contre-hypothèse simple. Il n'existe pas d'équivalent direct dans le contexte d'hypothèses composées. Nous montrons comment, en traitant le paramètre d'intérêt comme une grandeur aléatoire, il est cependant possible d'évaluer l'évidence statistique d'une hypothèse composée sans passer par la spécification ni l'estimation d'une loi ni d'un a priori particuliers. Le fait de traiter le paramètre comme un quantité aléatoire traduit ici sa variabilité plutôt qu'une incertitude le concernant, et la mesure idéale de l'évidence en faveur de la contre-hypothèse est la différence entre les logarithmes des odds a posteriori et a priori. Cette mesure idéale peur être remplacée par toute mesure estimée, pourvu qu'elle soit asymptotiquement sans biais. Une telle méthode s'interprète aisément et, le cas échéant, peut être utilisée en combinaison avec un a priori, spécifié ou estimé, sur l'hypothèse nulle. Nous décrivons deux de ces mesures estimées présentant des propriétés d'optimalité de type minimax. Une application à des données protéomiques indique que la modification d'une de ces mesures optimales portant sur les données relatives à une protéine unique fournit une bonne approximation de la différence entre les logarithmes des odds a posteriori et a priori en provenance de 20 protéines différentes.