雑音状況下でのコンシステント標本化定理の一拡張

摘要

コンシステント条件とは，再構成された信号を観測した結果がもとの信号の標本値に一致することを意味する．この条件を満たす関数を不足標本化の場合に求める標本化定理はこれまで，標本備に雑音が含まれない場合に議論されてきた．そこでは，再構成結果を求める部分空間上に任意性が生じるので，その決定法が一つの問題となっていた．これまでに例えば，事前に定められた特定成分による決定法，minimax評価基準による決定法などが提案されている．本論文ではこの問題に対する別の解を与える為に，標本化定理を標本値に雑音が含まれる場合に拡張する．まず部分空間Lを任意に固定すると，再構成される信号は雑音が含まれない場合の再構成信号の周辺に散らばる事になる．この散らばりの平均が雑音を含まない場合の再構成信号に一致する条件のもとで，分散が最小になるように信号を再構成することにする．この最小値はLに依存する．そこで，この最小値を更に最小化するようにLを決定する方法を提案する．この部分空間は，雑書の共分散行列から定まるある部分空間を含むとき，またそのときに限って，実現されることを示す．計算機シミュレーションにより，最小分散性を満たすLを用いた場合に，そうでない上を用いた場合と比較してより安定した再構成結果が得られることを示す．%To discuss sampling theorem from the approximation point of view, criterion for evaluation plays an important role. The relevant one is the minimum squared error, which can be satisfied only when a certain condition is true. For the cases without the condition, some relaxation for criterion is needed. One of such criteria is consistency, which requests that the reconstructed signal yields the same measurements as the original ones. The conventional consistent sampling theorems for under-determined cases assumed noiseless measurements. In this case, since a subspace, say L, in which signals are reconstructed, can be fixed arbitrarily. This, on the other hand, means that one has to determine L effectively. So far, a method based on principal components that are given in an a priori manner, or a method using the minimax criterion were proposed. In this paper, to give another answer to this problem, we extend the sampling theorem for noisy cases. In this case, the reconstructed signal is scattered in an arbitrarily fixed subspace L around the noiseless reconstruction. Hence, we first propose to reconstruct a signal so that the variance is minimized under the condition that the average of the signals agrees with the noiseless reconstruction. Note that the minimum value depends on the subspace L. Therefore, we propose to determine L so that the minimum value is further minimized in terms of L. Such L can be chosen if and only if L includes a subspace determined by noise covariance matrix. By computer simulations, we show that there is a considerable difference between the minimum variance and other cases.