低階数最小分散擬似不偏推定法のランク選択規準と悪条件逆問題への応用

摘要

In this paper, we propose a novel rank-selection for the Minimum-Variance Pseudo-Unbiased Reduced-rank Estimator (MV-PURE) to estimate the unknown deterministic vector in ill-conditioned linear regression model. The MV-PURE was designed, as a most natural reduced-rank extension of the Gauss-Markov (BLUE) estimator, to achieve small Mean Square Error (MSE) for the unknown deterministic vector even in the ill-conditioning of the model matrix, where the MSE can not be evaluated without complete knowledge of the unknown deterministic vector. The proposed rank-selection is realized by minimizing an unbiased estimate, obtained by applying Stein's Unbiased Risk Estimate (SURE), of the MSE for the product of the model matrix and the unknown deterministic vector. The proposed rank-selection criterion is more robust against the ill-conditioning than the direct application of SURE to the MSE for the unknown deterministic vector. Numerical examples demonstrate that the MV-PURE with the proposed rank-selection achieves in most cases the minimal MSE for the unknown deterministic vector among all possible ranks.%所望の未知ベクトルと既知のモデル行列の積に雑音が加わった観測ベクトルに推定行列を乗じて未知ベクトルを推定する逆問題を線形パラメータ推定問題という．「未知ベクトルに対する推定値の平均二乗誤差」を可能な限り小さくする推定行列の特定が目標となるが，平均二乗誤差は未知ベクトルの備に強く依存するため，これを直接最小化することは現実的に不可能である．低階数最小分散擬似不偏推定埠（MV-PURE）は，信号処理分野に頻出する「悪条件な線形パラメータ推定問題」に対するロバスト推定法として提案されたが，MV-PUREで達成される推定値の平均二乗誤差は推定行列のランク選択に強く依存するため，実用的で簡易なランク選択法の確立が求められていた．本研究では，未知ベクトルと既知のモデル行列の積に対するSteinの不偏リスク推定値をMV-PUREのランク選択規準として採用することを提案している．数値例では侶号処理分野に現れる2つの典型的な線形パラメータ推定問題を取り上げ，提案したランク選択規準により，「平均二乗誤差を最小にする推定行列のランク選択」が高い確率で達成されていることなどを確認している．