El problema de la Braquistócrona en el cilindro S1 × R con varias vueltas

摘要

Se presenta brevemente el problema del braquistocrona en un plano vertical. A continuac ′ on, se muestra la formulaci ′ on param ′ etrica del ′ problema de la braquistocrona sobre la superficie de un cilindro vertical de radio ′ R y se encuentra la curva que resuelve este problema. Enseguida, se formula el problema del tautocrona en el cilindro y se demostra que la curva tipo braquist ′ ocrona encontrada anteriormente ′ tiene comportamiento tautocrono, esto es, dos part ′ ′?culas sueltas del reposo de puntos distintos de la curva braquistocrona llegan al punto m ′ as′ bajo de la trayectoria en forma simultanea. Se verifica tambi ′ en que la curva tipo braquist ′ ocrona en un plano vertical (cicloide invertida) es ′ el l′?mite de la curva tipo braquistocrona encontrada en la superficie cil ′ ′?ndrica cuando el radio del cilindro tiende al infinito. Posteriormente, se analiza el problema del braquistocrona entre dos pontos fijos ′ A y B sobre la superficie cil′?ndrica con la condicion adicional de que la ′ part′?cula, antes de llegar al punto final B debe dar un cierto numero de vueltas previamente definido. Se encuentra la curva que resuelve este ′ problema y adicionalmente se halla una relacion matem ′ atica que determina cuantas vueltas como m ′ aximo puede haber si al fijar los valores ′ de las coordenadas del punto inicial (A), final (B), el radio del cilindro y g (la aceleracion de la gravedad).