Loi de réciprocité quadratique dans les corps quadratiques imaginaires

摘要

À partir d'une courbe elliptique définie sur le corps des classes de Hilbert d'un corps quadratique imaginaire K et à multiplicité complexe par l'anneau des entiers de K, on construit des fonctions elliptiques. Nous établissons des formules produits relatives à ces fonctions. De ce fait, nous obtenons une formulation analytique du lemme de Gauss généralisé ainsi qu'une expression explicite pour le symbole quadratique de Legendre défini sur l'anneau des entiers du corps quadratique imaginaire. Comme conséquence de cette étude, nous obtenons la généralisation de la loi de réciprocité quadratique de Gauss dans le cadre des corps quadratiques imaginaires.%We start with an elliptic curve defined over the Hilbert class field of an imaginary quadratic number field K and admitting complex multiplication by the ring of integers of K. We construct some elliptic functions. We prove product formulae for these elliptic functions. We use these formulas to give explicit expressions for the generalized Gauss lemma and the Legendre quadratic symbol defined over the ring of integers of the quadratic number field. As a consequence, we obtain a generalization of the Gauss reciprocity law in the case where the field of definition is a quadratic imaginary number field.