关于实数对〈α,β〉的Kátai性质及其对积性函数的一个应用

摘要

如果实数对对于任意的使‖n_kα‖→0的整数序列 n_1,n_2,…皆有‖n_kβ‖→0,则称为一个 Kátai 对.这里‖‖表示实数与最近的整数的距离.I.Káitai 在[1],[2]中曾指出:若为一个 Kátai 对,则β为整数或为α的整数倍.本文认为这一结论欠妥.并用一种新颖的初等方法证明了:实数对是 Kátai 对的充分必要条件为存在整数 m,n 使β=mα+n.还就 I.Kátai 关于积性函数的一个重要结论给出了修正证明.