外的非标准分析学

摘要

Ⅰ、本文论述了数系的扩大,引进了潜在数,如最小的正的潜无穷大p等,最后将超有理数集Q扩大为实序宇宙U_2。Ⅱ、本文介绍了外的非标准分析的理论基础,如逻辑扩大的转移原则,外的生成原则,比较原则和潜在数的表示式等。Ⅲ、本文证明了:1、标准实数集R的测度为0;2、每个潜在数的测度大于零;3、标准实数集的基数等于最小的正的潜无穷大p,同一序数p,等于两个不同的基数ω和c,故在序型U_2中连续统假设是一个不可判定的定理,这是本文对Hilbert第一问题的简明回答;4、对附有δ函数型无穷小扰动的Newton位势的解;得到了一些在标准分析中不能发现的函数项。Ⅳ、本文对一些历史上的数学问题作了回答,如:1、Pythagoras,Democritus和Plato先后提出了数学上的单子论或原子论,猜想数学中存在不可分的连续体,现在我们引入了潜在数,它们是一个个不可分的数学上的连续的实体,这样圆满地肯定了他们的猜想。2、对于公元前五世纪Zeno的总格言:“这种东西,加到别的东西上不使其增大,从别的东西中减去又不使其减小,不过是子虚乌有而已。”芝诺设置的这个总格言难住了人们两千四百多年,现在被我们从反面加以破解。3、对于Aristotle的猜想:“否认数能够产生一个连续统,因为数与数之间不能互相接触。”本文对上述猜想给以精确的陈?