关于球内接多面体的多点共球定理

摘要

1821年,法国人庞斯莱(Poncelet)提出并证明了如下命题:[1]九点圆定理在三角形中,以它的外心与垂心连线的中点为圆心,外接圆半径的一半为半径的圆,必通过9个特殊点,即:3个顶点与垂心连线的中点,3条边的中点,以及3条高的垂足.1863年,庞斯莱的同胞普鲁海(Prouhet)将这个命题维妙维肖地推广到垂心四面体中,得到了[2]十二点球定理在四面体中,4个顶点与垂心连线的三等分点(靠近顶点的4个分点),4个面的重心,以及4条高的垂足,共12个点在同一个球面上.本文拟将九点圆定理推广到一般的球内接多面体中,为了叙述简便起见,本文约定:(i)以点O为球心、R为半径的球面记作S(O,R);(ii)字母V表示任意一个多面体,它的所有顶点组成的集合为{A1,A2,L,An},称为V的顶点全集;(iii)从多面体V的n个顶点中,任意除去一个顶点A j(1≤j≤n),其余n?1个顶点组成的集合,称为V的一级顶点子集,记作V j.定义1设多面体V内接于球面S(O,R)其顶点全集为{A1,A2,L,An},对任意给定的正整数k,若点P满足11niiOP OAuuur=k∑=uuuur,(1)则点P称为多面体V的k号心;若...