双圆四边形又一面积公式

摘要

定理设双圆四边形ABCD的内心为I,面积为?.则?=IA?IC+IB?ID.证明如图,设双圆四边形ABCD的四切点为E、F、G、H,内切圆半径为r.由A、B、C、D四点共圆知:9022A+C=°,∴sin2A r=IA,cos A2=AIAE,sin2C r=IC,cos C2=CICG,∴r CG AE r1IA?IC+IA?IC=,即r(C G+AE)=IA?IC.(1)类似的,由9022B+D=°得sin cos cos sin12222B D+B D=,又sin2B r=IB,cos B2=EIBB,sin2D r=ID,cos D2=DIDG.∴r DG EB r1IB?ID+IB?ID=,即r(DG+EB)=IB?ID.(2)(1)+(2)得r(C D+AB)=IA?IC+IB?ID,∴rP=IA?IC+IB?ID,其中P=(AB+BC+CD+AD)/2.∴?=IA?IC+IB?ID.证毕.另外,由另一面积公式?=abcd与本文面积公式可得abcd=(IA?IC+IB?ID)2.其中a、b、c、d是双圆四边形ABCD之边长.A E B F C I HG D双圆四边形又一面积公式$湖北襄樊市长虹北路...