等步长高次多项式插值加速度法的局限性

摘要

动力时程分析中,在几个相邻的等长时间步之间对加速度的变化规律用多项式插值来描叙,经过推导可求解得到整个时间域上的动力方程的解答。根据泰勒展开原理分析表明,随着所取多项式次数的增加,收敛精度增高,计算步长适当放大,截断误差仍能在容许的范围之内。但是随着所取多项式次数增大,其算法的稳定域减少,计算步长受到了此小稳定域的限制,收敛精度不再是所取计算步长宽度的决定因素,稳定域大小成了所取计算步长宽度的决定因素。因为一旦步长超出了此小稳定域范围,虽然在每个时间步内的截断误差不大,其传递的误差却会被放大到很多倍,最后导致计算结果严重失真。分析结果显示,多项式插值次数采用到步长的三次时,与一次多项式插值(对应线性加速度法)和二次多项式插值(对应二次加速度法)的分析方法相比,算法的稳定域急剧变窄,为h/T≤0.0099(h为计算步长,T为结构的固有周期),此小稳定域限制了计算步长的选择范围,其收敛精度很高因此可放大计算步长的优势无法施展。本文推导了三次加速度法的求解过程,进行了一个理想单自由度系统的动力时程分析计算,验证了结论的正确性。表明同时考虑收敛精度和稳定域来确定计算步长的宽度时,二次加速度法为优。