Let G be a finite group, G 2 be a Sylow 2-subgroup of G, and L/K be a G-Galois extension. We study the trace form qL/K of L/K and the question of existence of a self-dual normal basis. Our main results are as follows: (1) If G2 is not abelian and K contains certain roots of unity then qL/K is hyperbolic over K. (2) If G has a subgroup of index 2 then L/K has no orthogonal normal basis for any G-Galois extension L/K. (3) If G has even order and G2 is abelian then L/K does not have an orthogonal normal basis, for some G-Galois extension L/K.; We also give an explicit construction of a self-dual normal basis for an odd degree abelian extension L/K, provided K contains certain roots of unity, and study the generalized trace form for an abelian group G.
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机译：假设 G 是一个有限组， G 2 是 G 的一个Sylow 2个子组，而 L / K 是 G -Galois扩展名。我们研究了 L / K 的痕迹形式 q L / K 以及自对偶正态存在性的问题。我们的主要结果如下：（1）如果 G 2 不是阿贝尔语，并且 K 包含某些统一根，则 q < sub> L / K 比 K 双曲。 （2）如果 G 具有索引2的子组，则 L / K 没有任何 G -Galois扩展的正交正态基础L / K 。 （3）如果 G 具有偶数顺序并且 G 2 是阿贝尔语，则 L / K 不具有正交关系通常，对于某些 G -Galois扩展 L / K 。我们还给出了奇偶数阿贝尔扩展 L / K 的自对偶正态基础的显式构造，条件是 K 包含某些统一根，并研究广义迹字母组 G 的表格。
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