非线性偏微分方程精确解与孤波相互作用问题的研究

摘要

本篇论文以非线性偏微分方程理论为基础，结合计算机符号计算，完成了以下四个方面的工作：一、通过对耦合Schro dinger-KdV方程组的Painlev6性质的分析，证明该方程组具有Painlevé性质；二、利用Painlevé截断展开式，求得了Caudrey-Dodd-Gibbon-Kaeada方程以及耦合Schr6dinger-KdV方程组的Hirota双线性形式，其中CDGK方程用三种方法求得其双线性形式，并得到了一致的结果。随后利用Hirota双线性方法，求出了这两个方程的单孤子解和双孤子解；三、运用冯兆生提出的首次积分法，讨论了Burgers-BBM，Burgers-Fisher和广义Burgers-Fisher方程，求出了这些方程许多新的精确解；四、一般地，可积模型的孤波解之间的相互作用认为是完全弹性碰撞。然而，对于某些模型，当它的波速和波相满足一定条件时，其相互作用是完全非弹性的，本文讨论了一种较为独特的完全非弹性碰撞现象一孤波汇合现象，以Chaffee-Infante(CI)方程为例对这类现象进行了分析。 非线性科学是继量子力学、相对论之后，20世纪自然科学的重大发展。爱因斯坦曾指出：“由于物理学的基本方程都是非线性的，因此所有的数学物理都必须从头研究”。到目前为止，非线性科学已经迅速发展成为众多学科的前沿课题之一。在1978年，Ablowitz和Segur发现，对于可以用反散射方法求解的非线性发展方程来说，其精确约化所得到的常微分方程(ODE)都具有Painlevé性质，因此他们给出一个猜想一Painlevé猜想：一个完全可积的偏微分方程经过相似约化得到的常微分方程都是Painlevé型的。这个猜想提供了一个证明偏微分方程(PDE)是否完全可积的必要条件。1983年，Weiss，Tabor和Camevale引入了偏微分方程的Painlevé性质的概念和Painlev éPDE检验，从而使得对PDE是否具有Painlevé性质的判断更加便利与简洁。 耦合Schro dinger-KdV(CSK)方程是一个(1+1)维的非线性发展方程组，本论文第二章运用WTC方法，验证了CSK方程具有Painlevé性质。在第三章中，利用第二章得到的结果，结合Hirota双线性法求出了该方程的单孤子与双孤子解。在第三章中给出三种求CDGK方程的Hirota双线性形式的方法，它们分别是：有理变换法、“阶平衡”方法与Painlevé截断展开法。在得出方程的Hirota双线性形式之后，再利用Hirota方法得到了CDGK方程的单孤子解和双孤子解。 2002年，冯兆生介绍了一种新的求非线性发展方程精确解的方法一首次积分法。实践证明这是一种有效的方法。其基本思想是：对于一个非线性偏微分方程，首先通过行波变换，将这个偏微分方程化成为一个常微分方程，再对这个常微分方程(ODE)作一个变换，使其等价于一个一阶的常微分方程组。冯兆生提出的首次积分法最重要的一点就是他利用除法定理来寻求这个常微分方程组的首次积分，然后由这些首次积分求出所求PDE的精确解。本文利用该方法求解了Burgers-BBM、Burgers-Fisher(BF)和广义Burgers-Fisher(GBF)三个方程，并分别得到了它们的一些新的精确解。这些结论尚末有其它作者发表。 最后，本文讨论了孤立波的相互作用问题。一般而言，能用反散射法，Hirota双线性法等方法求出的非线性发展方程的孤立波解之间的相互作用大都是完全弹性碰撞。然而，对于某些PDE模型，当波速和波向满足某一特殊条件时，它们的相互作用却是完全非弹性碰撞。例如，在某一时刻，单孤子可能会分裂为两个或两个以上的孤子；反之，两个或多个的孤子也有可能汇合成一个孤子，我们把这两种现象分别称为孤波的分裂与汇合现象。本论文第五章主要讨论了CDGK方程的双孤子解的结构与Chaffee-Infante方程的孤波汇合现象。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

1.1孤立子理论

1.2孤立子理论近期进展及其发展特点

1.3求解非线性偏微分方程的几种方法总结

1.3.1齐次平衡法

1.3.2 Jacobi椭圆函数展开法

1.3.3 反散射法

1.3.4 B(a)cklund变换

1.3.5 相似变换

1.3.6 Painlevé性质

1.4本文的主要工作

第二章PAINLEV(E)奇性分析

2.1 PAINLEV(E)奇性分析原理

2.2 BURGERS方程的PAINLEV(E)性质

2.3耦合SK方程的PAINLEV(E)分析

第三章HIROTA双线性方法

3.1 HIROTA双线性方法的相关概念与性质

3.2 HIROTA双线性方法的具体步骤

3.3用HIROTA双线性方法求解CDGK方程

3.3.1 CDGK方程的双线性形式

3.3.2 CDGK方程的多孤子解

3.4用Hirota方法求解耦合Schrodinger-KdV方程

3.4.1耦合Schrodinger-KdV方程的双线性形式

3.4.2耦合Schordinger-KdV方程的多孤子解

第四章首次积分法

4.1 首次积分法的相关概念及步骤

4.2用首次积分法求解BURGERS-BBM方程

4.3用首次积分法求BURGERS-FISHER方程的精确解

4.4用首次积分法求广义BURGERS-FISHER方程的精确解

第五章孤波的相互作用

5.1 KDV模型的孤子相互作用

5.2 CDGK方程的孤子相互作用

5.3孤波汇合现象

结语

参考文献

作者攻读硕士学位期间发表的学术论文目录

致谢