WBK方程、两类变系数KdV方程和高维变系数KP方程的可积性质和求解方法研究

摘要

过去的几十年，非线性科学飞跃发展成一门新的学科。非线性的因素在所有的自然科学乃至社会科学中都会遇到，非线性科学主要研究各种因子、各种尺度运动之间的非线性相互作用以及由此而产生的各种复杂现象。非线性科学成为近代科学发展的一个重要标志，非线性科学研究成为自然科学各科学分支共同关心的基础性研究。孤立子作为非线性科学的一个重要分支，在流体力学、生物、数学、等离子体、光学、通信等自然科学领域里，得到了广泛的研究和应用，具有非常重要的意义。求得非线性偏微分方程的精确解成为揭示模型物理意义的重要手段，至今，能够求得此类方程准确解析解的方法有反散射方法，Backlund变换法，Darboux变换法，Hirota直接法，Wronskian方法等等。同时，Painlevé分析方法被认为是研究非线性偏微分方程可积性质的有效方法，基于此法，可进一步研究方程的Hirota双线性形式、AssociatedBacklund变换、Lax对等可积性质。 本文正是以非线性偏微分方程的理论为基础，并借助计算机符号计算研究了几个非线性偏微分方程可积性质和几种重要的求解的方法，求出Whitham-Broer-Kaup（WBK）方程、带微扰项的变系数Korteweg-deVries（KdV）方程、（2+1）维变系数KdV方程和（3+1）维变系数Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的精确解析解并给出了相应的意义分析。 本文章节及内容安排如下： 第一章首先介绍孤子理论的发展史和孤子理论的研究现状，接着介绍了几种种常用的研究孤立子的方法--行波法、一般形式的Backlund变换法和非线性叠加法，并且通过具体方程介绍了每种方法的操作过程。 第二章具体介绍Painlevé分析方法。它是20世纪80年代由WTC等人在常微分方程Painlevé检测基础上推广发展起来的一种研究非线性偏微分方程可积性质的有效方法。我们首先介绍与Painlevé分析方法相关的概念、思想和步骤，然后以WBK方程和（2+1）维变系数KdV方程为例演示Painlevé分析方法的具体操作过程。 第三章具体介绍Hirota直接法和双线性形式Backlund变换法。直接法是由Hirota发展起来的研究非线性偏微分方程精确解和孤子问题的的有效方法，用它可以构造e指数N阶多项式形式的Ⅳ孤子解。而Backlund变换法的优势在于建立了种子解和新解之间的关系，理论上可以通过不断的迭代由种子解得到丰富的新解。本章我们介绍D算子定义和性质，化非线性偏微分方程为双线性形式时常用的因变量变换和截断的Painlevé展开法的应用。我们通过构造带微扰项的变系数KdV方程、WBK方程和（2+1）维变系数KdV方程的双线性形式、双线性求解和Backlund变换介绍其应用。 第四章研究Wronskian技术。Wronskian技术主要利用Wronskian行列式特殊的性质给出了验证精确解的简单而直接的方法。我们把Wronskian技术应用到带微扰项的变系数KdV方程、（2+1）维变系数KdV方程和（3+1）维变系数KP方程，求得它们的Wronskian形式的解并给出相应的证明。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

1.1孤子理论的发展史

1.2孤子理论的研究现状

1.3研究非线性偏微分方程的常用数学方法

1.3.1行波法

1.3.2一般形式的B(a)cklund变换

1.3.3非线性叠加公式

1.4本论文的主要工作

第二章 Painlevé分析

2.1 Painlevé检测简介

2.2偏微分方程Painlevé分析的基本思想和操作步骤

2.3 Painlevé分析方法应用

2.3.1 WBK方程的Painlevé分析

2.3.2(2+1)维变系数KdV方程的Painlevé分析

第三章Hirota直接法和双线性形式B(a)cldund变换法

3.1非线性偏微分方程的线性化

3.2双线性算子定义及性质

3.3常用的几种变换和截断的Painlevé展开法的应用

3.3.1常用的三种变换

3.3.2截断Painlevé展开法在寻找因变量变换中的应用

3.4双线性方程的求解

3.4.1 KdV方程的N孤子解

3.4.2(2+1)维变系数KdV方程的解及解的图形分析

3.4.3 WBK方程的N孤子解及解的图形分析

3.5双线性形式B(a)cklund变换及其应用

3.5.1带微扰项的变系数KdV方程双线性形式的B／tcklund变换

3.5.2 WBK方程的Backlund变换

3.5.3(2+1)维变系数KdV方程的Backlund变换、非线性叠加公式和Lax对

第四章Wronsldan技术及其应用

4.1 Wronskian行列式及其性质

4.2 Wronskian技术在求解带微扰项的变系数KdV方程和证明B(a)cklund变换中的应用

4.2.1构造带微扰项的变系数KdV方程Wronskian形式的N孤子型解

4.2.2利用Wronskian技术证明B(a)cklund变换

4.3 Wronskian技术求解(2+1)维变系数KdV方程

4.4(3+1)维变系数KP方程的精确解

4.4.1双线性法求(3+1)维变系数KP方程的精确解及解的意义分析

4.4.2 Wronskian技术求解(3+1)维变系数KP方程

结 语

参考文献

作者攻读学位期间发表的学术论文目录

致 谢