图的对称性与曲面嵌入

摘要

本文主要研究群论在图论中的应用，内容主要涉及到代数图论(第二章至第八章)和拓扑图论(第九章至第十一章)两个研究领域． 第一章是引言部分，主要介绍本文所要用到的一些有关群和图的基本概念，以及本文将要研究的问题、相关的背景知识和本文取得的相关成果． 在第二章，我们给出了5度非正规Cayley图的两个充分条件．由此，构造了一些连通的5度非正规Cayley图的无限类，其中三类为非交换单群上的Cayley图。另外，我们还决定了A5的所有连通5度非正规Cayley图，从而推广了徐明曜和徐尚进[Science in China A，47(2004)593-604]的关于A5的连通3、4度Cayley图正规性结果．应用该结果，我们还决定了A5的所有5度非CI Cayley图，而徐明曜等[Science in China A，44(2001)1503-1508]则证明A5为4-CI群。 在第三章，我们首先给出了阶为二倍的两个不同的奇素数乘积的连通3度对称图的分类，该结果和Feng等[J.Combin.Theory B，97(2007)627-646；J.Austral.Math.Soc.A，81(2006)153-164]的结果一起完成了阶为三个素因子的乘积的连通3度对称图的分类；其次，我们还给出了阶为三个素因子的乘积连通3度点传递的非Cayley图的分类；最后，通过决定2pq阶连通3度Cayley图的正规性，我们给出了2pq阶连通3度非对称Cayley图的分类，其中p,q为两个不同的奇素数。这样，本章完成了2pq阶连通3度点传递图的分类。 在第四章，我们分类了Mobius-Kantor图(即广义Petersen图GP(8,3))的边传递循环正则覆盖．作为应用，给出了16p阶3度对称图的分类，其中p为任一素数。 第五、六、七章是关于具有某种对称性质的小度数图的分类的．第五章给出了二倍无平方因子阶的3度1-正则图的分类。第六章给出了2pq阶4度1-正则图的分类，其中p，q为任意素数．第七章给出了p4阶4度半传递图的分类。 在第八章，我们研究了5度对称图的点稳定子群．给定图X，设G≤Aut(X)，s≥1为整数。若G在X的s-弧集合上传递但在(s+1)-弧集合上非传递，则称图X为(G,s)-传递的；特别地，称(Aut(X),s)-传递图X为s-传递图。对任一连通5度(G,s)-传递图X，令Gv为顶点v∈V(X)在G中的点稳定子群。Weiss在文献[Math.Proc.Camb.Phil.Soc，85(1979)43-48]中证明若Gv可解，则s≤3。在第八章，我们进一步证明当s=1时，Gv同构于z5，D10或D20；当s=2时，Gv同构于Frobenius群F20或F20×Z2；当s=3时，Gv同构于F20×z4。利用该结果，我们还证明了所有非交换单群上的连通5度1-传递Cayley图都是正规的。 第九章是关于正则地图的。设p和g为素数，Du等在文献[J．Algebraic Combin，19(2004)123-141]中分类了以pq阶简单图为基图的正则地图。在第九章，我们分类了以4p阶简单图为基图的正则地图。这些地图包括12个零散的地图和六个无限类，其中两个无限类为以完全二部图K2p,2p为基图的正则地图，另外四个无限类分别为群Z4p，Z22×Zp和D4p上的正则平衡Cayley地图。 最后两章是关于地图计数的。Mull等在文献[Proc.Amer.Math.Soc.，103(1988)321-330]中给出了一个地图的同构类的计数方法。利用该方法，他们计算了以完全图和轮图为基图的地图的同构类的个数。Mull在文献[J.Graph Theory,30(1999)77-90]中进一步发展了这个方法，并得到了以完全二部图为基图的地图的同构类的计数公式。 在第十章，我们将Mull等的方法推广到允许有环和重边的连通图上，并给出了以两类著名图类；环束和双极图为基图的地图同构类的计数公式。称地图M为可反射的，若它同构于它的镜面影象。 在第十一章，我们给出了可反射地图的同构类的一个计数方法，并将该方法应用到了完全图、环束、双极图和轮图等著名图类中。进一步，我们还证明了这些图的地图‘几乎’都是非可反射的，即为手性的(当顶点个数无限增长时)。

目录

文摘

英文文摘

论文说明：符号说明、索引

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致谢

第一章引言

§1.1基本概念

§1.2研究问题及背景知识

§1.2.1 Cayley图的自同构群

§1.2.2具有某种对称性质的图的分类

§1.2.3 5度对称图的自同构群

§1.2.4 正则地图及地图记数

第二章A5上的5度非正规Cayley图的分类

§2.1预备知识

§2.2非正规Cayley图的两个充分条件

§2.3 A5的连通5度非正规Cayley图

§2.4 As的5度非CI Cayley图

第三章2pq阶3度点传递图

§3.1基本命题

§3.2 2pq阶3度对称图

§3.3 2pq阶3度点传递非Cayley图

§3.42pq阶3度Cayley图的自同构群

第四章M(o)bius-Kantor图的边传递循环正则覆盖

§4.1覆盖图简介

§4.2 GP(8，3)的边传递循环正则覆盖

§4.3 16p阶3度对称图

第五章二倍无平方因子阶的3度1-正则图

§5.1主要结论

第六章2pq阶4度1-正则图

§6.1预备知识

§6.2 2pq阶4度1-正则图的构造

§6.32pq阶4度1-正则图的分类

第七章p4阶4度半传递图

§7.1预备知识

§7.2自同构群分析

§7.3p4阶4度半传递图的分类

第八章关于5度对称图

§8.1预备知识

§8.2几个5度(G，s)-传递图的例子

§8.3 5度(G，s)-传递图的可解点稳定子群结构

§8.4非交换单群上的5度1-传递Cayley图的正规性

第九章4p阶正则地图

§9.1预备知识

§9.24p阶正则地图的构造

§9.34p阶正则地图的分类

第十章环束和双极图的地图的同构类

§10.1一般方法

§10.2环束的地图的同构类

§10.3双极图的地图的同构类

第十一章可反射地图的同构类的计数

§11.1一般方法

§11.2完全图的可反射地图

§11.3环束的可反射地图

§11.4 双极图和轮图的可反射地图

§11.5进一步的研究问题

参考文献

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