具间断系数拟线性椭圆型方程和方程组的正则性

摘要

本文研究内容主要由如下四个部分组成:1、建立具VMO间断系数散度型拟线性椭圆方程组弱解的具最优H(o)lder指数的部分H(o)lder连续性估计;2、研究在弱条件下的具退化椭圆的A-调和型方程组弱解梯度的BMO正则性;3、得到定义在Carnot群上的具VMO间断系数的次椭圆方程组弱解梯度在Morrey空间的正则性估计;4、在自然增长条件下，分别研究半线性次椭圆方程和更一般的次椭圆A-调和方程的弱解的具最优H(o)lder指数内部H(o)lder连续性.下面分章节叙述具体内容:
　　第一章简述本研究的选题背景、综述本文相关的文献资料和最新发展动态;同时也给出在正文研究中有关的基本概念和基本事实.
　　第二章分别在可控增长条件和自然增长条件下，研究VMO间断系数的二阶散度型拟线性椭圆方程组弱解具最优H(o)lder指数的部分H(o)lder连续性.采用改进的A-调和逼近技术，建立方程组弱解和某个A-调和函数之间的逼近关系，再结合Caccioppoli不等式，得到在“小能量”下的H(o)lder连续性（部分正则性）.与经典的扰动法相比较，该方法避免了反向H(o)lder不等式的使用，并在一定程度上简化了证明.
　　第三章研究一类具弱正则系数的退化椭圆型方程组弱解梯度在全空间上的BMO正则性.基于退化椭圆型方程组弱解梯度的广义Morrey空间估计，建立了弱解梯度在BMO空间的正则性.
　　第四章研究定义于Carnot群上在可控增长条件下具VMO系数的A-调和型次椭圆方程组，当p在2的附近扰动时其弱解梯度在Morrey空问的正则性，由此得到在Q-n＜λ＜p时弱解具最优H(o)lder指数的H(o)lder连续性.这里需要指出的是，对于一般的p，即使是p-Laplacian，其正则性仍是未知的，文中基于反向H(o)lder不等式，得到弱解梯度更高的可积性，通过迭代不等式，建立具确切指数的H(o)lder连续性.
　　第五章研究在自然增长条件下半线性次椭圆方程有界弱解的内部H(o)lder连续性.通过线性化为线性问题的上下解问题，利用经典的De Giorgi-Moser-Nash迭代，结合向量场下的Poincaré不等式和密度引理，得到Hanack不等式，从而建立方程弱解的内部H(o)lder连续性估计.
　　第六章考虑更一般的A-调和型次椭圆方程在自然增长条件下弱解的内部H(o)lder连续性估计.基于密度引理和De Giorgi-Moser-Nash迭代技巧，证明A-调和型次椭圆方程的有界解的局部H(o)lder连续性.
　　第七章是总结和展望.

目录

声明

致谢

摘要

1 绪论

1．1 研究背景及意义

1．2 研究现状

1．2．1 拟线性椭圆型方程组正则性研究现状

1．2．2 退化A-调和型椭圆方程组正则性研究现状

1．2．3 次椭圆方程和方程组正则性研究现状

1．3 本文研究内容

2具有VMO系数的拟线性椭圆方程组的部分正则性

2．1 引言

2．2 一些定义、引理和假设

2．3 定理2．1．3的证明

2．4 定理2．1．4的证明

2．5 小结

3．1 引言

3．2 准备知识

3．3 广义Morrey空间估计的证明

3．4 主要结论的证明

3．5 小结

4 Carnot群上具VMO系数的A-调和型次椭圆方程组的 Morrey估计

4．1 引言

4．2 准备知识

4．3 主要定理的证明

4．4 小结

5 自然增长条件下半线性次椭圆方程的内部H?lder连续性

5．1 引言

5．2 准备知识

5．3 主要定理的证明

5．4 小结

6 自然增长条件下次椭圆A-调和方程的H?lder连续性

6．1 引言

6．2 准备知识

6．3 主要定理的证明

6．4 小结

7．1 研究工作总结

7．2 研究工作展望

7．3 结语

参考文献

作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果

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