基于李雅普诺夫方法的分数阶神经网络动力学分析及控制

摘要

神经科学是当前世界的热点学科之一.不仅仅限于传统神经生物学的研究，神经科学通过人工仿生神经网络展现出了强大的信息处理能力，并在图像处理、组合优化、联想记忆、模式识别等诸多领域都有成功的应用.分数阶微积分是传统整数阶微积分在实数域甚至复数域的推广.相较于经典的整数阶微积分，分数阶微积分在理论上实现了一个突破，即其具有的“无限记忆”特性为刻画生物系统、粘弹系统等实际模型提供了更为精确的工具.亦有证据表明使用分数阶微积分描述的神经网络系统与实际的生物实验数据更加吻合，并能在人工网络计算上展现出更高精度的数据计算处理能力.故分数阶神经网络的相关领域具有很大的研究价值和发展潜力.
　　本文主要分析分数阶神经网络的动力学行为以及其控制问题.以Caputo定义下的分数阶Hopfield神经网络为主要的研究对象，针对其模型的数学特征，采用推广的李雅普诺夫方法分析其不同动力学行为的条件，并提出了一组线性矩阵不等式稳定条件.最终将上述相关结论应用到其控制问题中.详细的工作介绍如下:
　　1.对传统经典的分数阶李雅普诺夫方法进行针对性地推广，使其能够用于分析分数阶神经网络的动力学行为.首先，提出一个分数阶不等式，其在分数阶系统的分析过程中有着重要的作用.其次，对分数阶李雅普诺夫直接法进行改进，将其适用对象推广到更一般的函数和系统，拓展其应用范围，以便于其用于分析分数阶神经网络的稳定性条件.此外，结合已有的分数阶李雅普诺夫方法提出相应的有界性和吸引性定理，从而可以用于分析分数阶神经网络模型.
　　2.结合分数阶李雅普诺夫方法和分数阶比较定理，提出针对分数阶神经网络的线性矩阵不等式条件.首先，分析分数阶神经网络，运用分数阶李雅普诺夫直接法以及特定的不等式方法推导出平衡点存在唯一的线性矩阵不等式条件，继而提出该唯一平衡点Mittag-Leffler全局稳定的线性矩阵不等式条件.其次，针对带有多时滞的分数阶神经网络，在运用以上方法的同时结合分数阶比较定理，得到其相应的平衡点存在唯一和渐近稳定性的线性矩阵不等式条件.此外，对非自治的分数阶时滞神经网络，进行了尝试性的分析，并在特定条件下给出了其渐近稳定的线性矩阵不等式条件.
　　3.运用相关李雅普诺夫方法的推广结论，系统地分析并提出相关分数阶神经网络模型的动力学条件，包括分数阶神经网络的全局稳定性、带有有界扰动分数阶神经网络（参数扰动模型和外部输入扰动模型）的有界性和吸引性、分数阶不连续神经网络（不连续激励函数模型和忆阻器模型）的动力学分析等.此外，对于不同类型的分数阶神经网络，根据其模型的特殊性，具体地分析其解的存在唯一性，平衡点的存在条件和唯一性条件，局部和全局动力学特性，不同动力学性质发生的可能性和条件等.并从理论和实验两方面验证所提条件的有效性.
　　4.针对分数阶混沌神经网络，分析其不同同步类型下的控制条件，并通过设计合适的控制器实现非线性同步目的.首先，对于分数阶神经网络给出合适的线性反馈控制器，并实现其完全同步.其次，对于带有扰动的分数阶神经网络，若使用线性反馈控制器可以实现其准同步，为了实现其鲁棒同步，提出了相应的鲁棒控制器，并从理论和实验验证其鲁棒性.此外，利用上述线性矩阵不等式条件设计控制器，解决了分数阶神经网络广义同步问题，并针对广义同步的一些特例进行分析和验证，总结了同步类型间的特点和联系.

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致谢

摘要

1 绪论

1．1 神经科学与神经网络概述

1．2 分数阶微积分概述

1．3 分数阶神经网络的研究发展现状

1．4 本文的主要内容和工作

2 分数阶微积分的基础理论

2．1 分数阶微积分的定义和性质

2．2 分数阶微分方程的数值仿真方法

2．2．1 分数阶微分方程的预估校正解法

2．2．2 时滞分数阶微分方程的预估校正解法

2．3 分数阶微分方程的稳定性定理

2．3．1 线性稳定性定理

2．3．2 李雅普诺夫直接法

2．4 分数阶神经网络的建模过程

3 分数阶李雅普诺夫方法的推广和应用

3．1 一个重要的分数阶不等式

3．2 分数阶李雅普诺夫直接法的改进

3．3 分数阶李雅普诺夫有界性方法

3．4 分数阶李雅普诺夫吸引性方法

4 分数阶神经网络的线性矩阵不等式条件

4．1 一般模型的线性矩阵不等式条件

4．2 时滞模型的线性矩阵不等式条件

5 分数阶神经网络动力学分析

5．1 分数阶神经网络的全局稳定性

5．2 带有有界扰动的分数阶神经网络的动力学分析

5．2．1 参数扰动模型

5．2．2 外部输入扰动模型

5．3 分数阶不连续神经网络动力学分析

5．3．1 不连续激励函数模型

5．3．2 忆阻器模型

6 分数阶神经网络的同步研究

6．1 分数阶神经网络的完全同步

6．2 分数阶神经网络的准同步

6．3 分数阶神经网络的鲁棒同步

6．4 分数阶神经网络的广义同步

7．1 结论

7．2 展望

参考文献

作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果

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