传染病学中椭圆方程组解的研究

摘要

传染病对人类健康的严重威胁引发了人们对其基因组克隆、序列测定及遗传进化分析方面的大量研究，而相应数学模型的建立和解析也得到了广泛关注.古典的仓室模型用常微分系统来描述传染病的传播，通常地，基本再生数决定了疾病是否蔓延或消退.但是，人们逐渐认识到空间扩散和环境的异质性不仅是影响疾病消退和蔓延的重要因素，而且决定了疾病传播方式和传播速度.这样的话通常意义上的基本再生数不足以描述疾病的传播，也不能反映所研究区域的空间特征，因此，有必要研究扩散对于疾病在区域中的传播和控制所起的作用.
　　伴随这些要求，楼元老师对一类非均质区域下的SIS传染病模型的稳定性进行了分析.先考虑固定区域上的SIS反应扩散问题，通过定义具有齐次Neumann边界条件的反应扩散问题的基本再生数RN0，讨论无病平衡点和染病平衡点的稳定性;在此基础上，引入自由边界描述传染病传播的边沿，定义具有齐次Dirichlet边界条件的反应扩散问题的基本再生数RD0，从而引入具有自由边界的SIS模型的基本再生数RF0(t)，并讨论了疾病的消退和蔓延.
　　本文主要针对几种传染病模型进行分析.第一个模型是非齐次的SI传染病模型，主要思路是:首先构造本模型在具有Neumann边界条件下的基本再生数R0，同时讨论染病者的扩散对基本再生数R0的影响，即如果R0＜1，则无病平衡点全局渐近稳定，如果R0＞1，则无病平衡点不稳定.其次，在低危险区域，用分支理论研究染病平衡点的存在性和稳定性.最终结果显示，减少染病者的扩散并不利于传染病的消除，但染病平衡点的不稳定性表明传染病可以得到控制.
　　本文在第一章绪论的第一节中具体介绍了SI传染病模型的背景来源，第二节中给出近来研究现状;第二章第一节给出了Lyapunov稳定性，第二节给出Crandall-Rabinowitz分叉理论的知识，第三节给出局部分叉图像和稳定性变换原则的相关知识;第三章中讨论了所研究的SI反应扩散传染病模型的基本再生数的定义和特征、无病平衡点的稳定性、染病平衡点的存在性与稳定性和局部分叉图像的方向;第四章讨论了SIV传染病模型的类似性质;第五章讨论了具有对流项的SIS传染病模型的相关性质;第六章讨论了具有扩散项的SEIS传染病模型的相关性质;第七章对本文的研究做了相关总结.

目录

声明

致谢

摘要

1．1传染病模型背景

1．2近来研究成果

1．3本论文的文章结构

2预备知识

2．1 Lyapunov稳定性

2．2 Crandall-Rabinowitz分叉理论

2．3稳定性变换原则和局部分叉图像

3非齐次空间的SI传染病模型的稳态解

3．1基本再生数的定义及其特征

3．2无病平衡点的稳定性特点

3．3染病平衡点的存在性和局部分叉

3．4染病平衡点局部分叉图像的分叉方向

3．5染病平衡点的稳定性分析

4SIV传染病模型

4．1 常微分方程无病平衡点的稳定性

4．2偏微分方程系统

5具有对流项的SIS传染病模型

6具有扩散项的SEIS传染病模型

7工作总结

参考文献

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