一类守恒型变系数反常热传导模型参数数值反演问题的研究

摘要

分数阶导数所描述的反常热扩散模型在工程、化学、材料、航天、力学等方面有着重要的应用。近年来，随着许多学者对该问题研究的深入，关于分数阶热传导方程正问题的理论分析和数值方法的研究也越来越多。然而通常在实际上我们不一定能获取到边界值、热传导系数、初始条件、或者介质内部热源强度等未知部分，因此我们必须通过指定的观测值进行反演，这就产生了分数阶热传导方程的反问题。　　本文研究了混合边界条件下分数阶变系数热传导方程的参数识别问题。本文分为以下四个部分：首先阐述了分数阶热传导方程的研究意义并介绍了国外研究现状，通过借鉴国内外研究成果来深入的研究分数阶热传导方程的相关理论。第二章建立了分数阶热传导方程系数识别反问题的理论，通过定义正问题的弱解，并利用Mittag-Leffler函数给出了弱解的形式，证明了弱解的存在唯一性。从而进一步证明了热传导系数识别这一反问题的唯一性和分数阶阶数识别的唯一性。第三部分推导了分数阶热传导方程正问题的差分格式，给出了截断误差，并证明了该格式的唯一可解性、稳定性和收敛性。再利用数值算例验证了该格式的可行性和收敛阶为O(h2+τ2?α)。第四部分给出了热传导系数反演的数值算法，主要采取L-M算法进行迭代，利用数值算例，在有噪音和无噪音的条件下，说明反演是有效的。

目录

声明

1. 绪论

1.1 研究背景及意义

1.2 国内外研究现状

1.3 本文研究的主要内容

1.4 本文研究的主要创新点

2. 分数阶热反常扩散方程系数识别理论

2.1 准备知识

2.2 正问题弱解的存在唯一性

2.3 热传导系数识别的唯一性

2.4 分数阶阶数识别的唯一性

3. 分数阶热传导方程正问题数值方法

3.1数学模型

3.2 分数阶热传导方程的有限差分方法

3.2.1 差分格式的建立

3.2.2 唯一可解性

3.2.3 稳定性

3.2.4 收敛性

3.3 数值算例

3.4 本章小结

4. 热传导系数反演的数值算例

4.1 Levenberg-Marquardt算法理论

4.2 L-M算法步骤

4.3 数值算例

4.4 本章小结

5. 结论与展望

参考文献