带有限制器的CPR方法和交通流模型研究

摘要

本文关注守恒律和哈密顿-雅可比这两类偏微分方程的数值解法及其在交通流模型中的应用。我们可以大致地将论文分为以下两个部分:
　　在第一部分里，我们研究用于求解双曲守恒律的重构修正方法(correctionprocedure via reconstruction，简称CPR)。由于CPR方法为一个高阶线性方法，其在处理解中含有较强间断的问题时可能会产生数值震荡。因此，我们分别针对结构网格和非结构网格（直边或曲边），将一个原本为间断Galerkin（discontinuous Galerkin，简称DG）格式设计的简单的加权本质无震荡(weightedessentially non-oscillatory，简称WENO)限制器推广到了CPR格式上。其目的是能够控制CPR格式的解在间断处的数值震荡，同时又能保持解在光滑区域内的原有高精度。我们使用的WENO限制器十分简单，其不会破坏CPR格式本身的守恒性。此外，WENO限制器作用在目标单元上时只需用到该单元及其直接相邻的几个单元上的信息，因此它可以维持CPR格式本身的模板紧凑性。标量守恒律的熵解的一个重要性质是其满足最大值原理。特别地，当初值为正时解在后续时刻都将保持为正。在实际中一些物理量应该为正数，例如可压缩气体动力学里的欧拉方程中的密度及压力。由于带有WENO限制器的CPR格式在上述情况里不能自动地保持数值解为正数，我们还将一些原本为DG格式设计的保正限制器推广到了CPR格式中。论文中给出了一维及二维上的数值算例来证明这些限制器的有效性。
　　在第二部分里，我们分别针对各向同性和各向异性这两种不同的情形，研究了动态交通流问题的建模及数值解法。对于各向同性问题，Jiang等人[54]提出了一个预测型连续动态用户平衡模型。由于模型的路径选择策略中的一些问题，其模型在数学上是不适定的。因此，我们重新考虑了该问题，提出了一个新的路径选择策略并构建了一个改进的模型，用于处理含有单个商业中心的任意形状的密集城市内的交通问题。对于各向异性问题，Hoogendoorn和Bovy[45]构建了一个用于解决行人用户最优动态分配问题的方法。虽然这个模型的适用性非常广泛，但其文章中只给出了各向同性情形下的数值算例。我们指出，其模型中的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程在各向异性条件下较难进行数值求解。为了克服这一困难，我们针对含有多个商业中心的密集城市重新构造了他们的模型。在我们的模型中，哈密顿-雅可比-贝尔曼方程被简化为了一个更容易计算的哈密顿-雅可比方程。本文构造的各向同性和各向异性模型均由一个守恒律和一个依赖时间的哈密顿-雅可比方程组成。守恒律用来控制交通流的密度，该方程中的交通流方向由所构造的路径选择策略来决定。哈密顿-雅可比方程则用来求解实际总交通花费。我们在论文中运用稳健的数值格式来求解这些守恒律和哈密顿-雅可比方程。对于一般的由两个方程组合而成的模型而言，给定的都是初始时刻的值，因而我们可以在时间上同时求解这两个方程。然而本论文的模型中两个方程在时间上的求解方向不同，因此没法同时进行计算。事实上，同时满足这两个方程的问题可以看做一个不动点问题。我们在论文中构造了一个自适应的连续平均法来求解此不动点问题。该方法可以利用最小二乘法来自动地寻找连续平均法的最佳步长。在各向异性的模型中，我们需要求解一个最小值问题。在本文中我们构造了一个简单的方法来数值求解此最小值问题。论文中分别给出了各向同性和各向异性的数值算例来证明所构造的模型和数值算法的有效性。此外，我们还给出了这两种不同情形下的模型、算法及数值结果的对比。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 本章引言

1．2 CPR方法介绍

1．2．1 一维CPR方法

1．2．2 二维矩形网格上的CPR方法

1．2．3 二维非结构网格上的CPR方法

1．3 Runge-Kutta时间离散

1．4 交通流中常用方程的数值算法介绍

1．4．1 求解守恒律的数值格式

1．4．2 求解哈密顿-雅可比方程的数值格式

1．4．3 求解Eikonal方程的快速扫描法

1．5 交通流模型简介

1．6 本章总结及本文概要

第2章 结构网格上CPR方法的WENO及保正限制器

2．1 本章引言

2．2 一维谱差分型CPR格式

2．3 WENO限制器

2．3．1 一维标量方程

2．3．2 一维方程组

2．3．3 二维标量方程及方程组

2．4 保正限制器

2．4．1 一维标量方程

2．4．2 一维欧拉方程组

2．4．3 二维标量方程

2．4．4 二维欧拉方程组

2．5 数值算例

2．6 本章总结

第3章 非结构网格上CPR格式的WENO及保正限制器

3．1 本章引言

3．2 WENO限制器

3．2．1 标量方程

3．2．2 欧拉方程组

3．2．3 曲边三角网格

3．3 保正限制器

3．3．1 标量方程

3．3．2 欧拉方程组

3．3．3 曲边三角网格

3．4 数值算例

3．5 本章总结

第4章 各向同性交通流模型的构造及其数值解法

4．1 背景介绍

4．2 问题描述

4．3 原始模型中的问题

4．3．1 原始模型

4．3．2 模型中的问题

4．4 改进的模型

4．4．1 仅考虑时间花费时的路径选择策略

4．4．2 一般情形下的路径选择策略

4．4．3 实际总花费与瞬时花费的求解

4．4．4 特殊情形与一般情形的关系

4．4．5 各式的初边值条件及完整模型

4．5 数值算法

4．5．1 不动点问题

4．5．2 自适应连续平均法

4．5．3 求解过程

4．6 数值算例

4．6．1 问题设置

4．6．2 数值结果

4．7 本章总结

第5章 各向异性交通流模型的构造及其数值解法

5．1 背景介绍

5．2 问题描述

5．3 Hoogendoorn-Bovy模型

5．4 改进模型

5．4．1 路径选择策略

5．4．2 初边值问题的讨论

5．4．3 完整模型及不动点问题

5．5 数值算法

5．5．1 最小值问题的解法

5．5．2 求解过程

5．5．3 与各向同性模型的算法的区别

5．6 数值算例

5．6．1 单个商业中心

5．6．2 两个商业中心

5．7 本章总结

第6章 总结与展望

6．1 CPR上的WENO及保正限制器

6．2 连续交通流模型的构建及数值求解

参考文献

致谢

攻读博士学位期间发表的学术论文