一种求解合作型P-Laplacian方程组多重特征对的局部极小正交算法

摘要

本文主要研究非线性合作型p-Laplacian方程组的特征对(Eigenpair)的数值计算问题。首先，利用Rayleigh-quotient公式将合作型p-Laplacian方程组的特征对问题转化为Rayleigh-quotient泛函的临界点问题;当方程组满足iso-homogenous条件时，证明了这两种问题的等价性。接着，在Banach空间中依次引进了一种L-⊥选择函数，伪梯度以及修正的伪梯度。在Banach空间中，伪梯度作为一种搜索方向在特征对的求解过程中起到了很重要的作用;修正的伪梯度引理则保证了伪梯度的顺利投影，从而避免了迭代后的函数点落入到旧的解空间里。此外，给出了步长引理及Rayleigh-quotient泛函的临界点的刻画定理;在此基础上，成功地发展了一种适用于Banach空间的改进的局部极小正交算法(LMO)，同时给出了伪梯度的计算技巧及其它重要问题的处理方法。另外，还证明了Banach空间中LMO算法的收敛性。最后，在不同区域上分别给出了数值算例，并且获得了较好的数值结果;数值计算的成功证实了该改进方法在求解非线性合作型P-Laplacian方程组的多重特征对问题中的有效性。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 研究背景及现状

1．2 论文主要内容及安排

1．2．1 论文主要内容

1．2．2 论文安排

第2章 基本概念

2．1 基本概念

2．1．1 Sobolev空间的一些基本定义、定理

2．1．2 理论中涉及一些定义

2．1．3 L-⊥选择函数

2．2 LMO算法(Chen-Zhou 2008)

第3章 局部极小正交方法在Banach空间的应用

3．1 Eigenpair问题与Rayleigh-quotient范函的临界点等价证明

3．2 局部极小正交算法的特征

3．3 本章小结

第4章 Banach空间中的局部极小正交算法

4．1 Banach空间中的局部极小正交算法流程

4．2 算法中关键问题的解决

4．2．1 伪梯度的计算

4．2．2 L-⊥选择函p(·)的计算

4．3 Banach空间中LMO算法的收敛性

第5章 数值计算

5．1 q1=0，q2=0情形下Banach空间中Eigenpair实例

5．1．1 方形区域下的数值计算

5．1．2 圆形区域下的数值计算

5．1．3 方形区域网格加密情形下计算

5．2 q1≠0，q2≠0情形下Banach空间中Eigenpair实例

第6章 总结

参考文献

致谢