关于平均曲率流自收缩解若干问题的研究

摘要

平均曲率流是一类将子流形沿其平均曲率向量形变的几何热流.它在第一类奇点处的爆破极限为满足方程H-/2＝0的欧氏空间中的超曲面，我们称之为self-shrinker.Self-shrinker在研究平均曲率流方面起着重要作用，因为它们不仅描述了平均曲率流在给定奇点处的所有可能爆破模型，而且它们还对应于平均曲率流的自收缩解.众所周知，￡-算子在self-shrinker的研究中起着极其重要的作用.本文，我们首先研究了self-shrinker上三个重要的偏微分方程￡u=0，￡u=(a)u/(a)t，以及￡u=Λu.讨论了它们各自正解的整体梯度估计和局部梯度估计，并给出这些估计的很多应用，获得一些Harnack不等式，获得￡-算子第一特征值的下界估计等.然后我们研究了self-shrilnker上有关￡-算子的Reilly不等式，利用此Reilly不等式,我们获得self-shrinker上一些新的Poincaré不等式，同样的，我们也获得self-shrinker边界上的一些Poincaré不等式以及特征值的估计，建立了边界上广义平均曲率Hp的整体估计.体积保护的平均曲率流作为一般平均曲率流一种推广，在第一类奇点处的爆破极限满足方程H-/2＝λ我们称之为λ-超曲面.在本文里，我们主要研究了无多项式体积增长的假设下的λ-超曲面的分类和刚性.使用关于￡-算子的推广的极大值原理，超曲面第二基本形式的加权L2-条件，超曲面上Sobolev不等式以及超曲面的p-抛物性等，我们将self-shrinkers上的许多结果推广到λ-超曲面上来.此外，我们还讨论了λ-超曲面上的体积比较定理，并给出了体积比较定理的许多应用，证明了λ-超曲面上的Milnor定理和Hurewicz定理等.最后，我们讨论了λ-超曲面上一些拓扑结构.如在对内体积增长给予某些限制的条件下，研究了λ、半径κ和维数n的关系;将著名的Myers定理推广到完备连通的λ-超曲面上来;获得∞-Bakry-Emery-Ricci曲率非负的有界λ-超曲面在无穷远点的拓扑性质;获得使λ-超曲面紧致的充分条件等等.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．2 Self-shrinker的研究概述

1．3 体积保持的平均曲率流及其λ-超曲面概述

1．4 本论文的组织结构

第二章 预备知识

第三章 Self-shrinker上有关￡-算子的梯度估计及其应用

3．1 研究背景

3．2 方程￡u=0解的梯度估计及其应用

3．2．1 主要结论

3．2．2 整体梯度估计与强LiouviIle定理

3．2．3 局部梯度估计与Harnack不等式

3．2．4 局部梯度估计的应用

3．3 方程￡u=(?u/?t)解的梯度估计及Harnack不等式

3．3．1 主要结论

3．3．2 定理3．3．1 的证明

3，3．3 推论3．3．1 与推论3．3．3 的证明

3．4 方程￡u=-Λu解的梯度估计与￡-算子的特征估计

3．4．1 主要结论

3．4．2 定理3．4．1 的证明

3．4．3 定理3．4．2 的证明

3．4．4 定理3．4．3 的证明

第四章 Self-shrinker上有关￡-算子的积分不等式

4．1 Self-shrinker上Reilly不等式

4．2 Self-shrinker上的Poincaré不等式

4．3 Self-shrinker上￡算子第一特征值的估计

4．4 边界?Σ上的Poincaré不等式

4．5 边界?Σ上平均曲率的整体估计

4．6 边界?Σ上￡?算子的第一特征值估计

第五章 λ-超曲面的分类与刚性

5．1 研究背景概述

5．2 λ-超曲面的刚性定理

5．3 λ-超曲面的分类定理

5．4 λ-超曲面的整体pinching问题

5．5 λ-超曲面的ρ-抛物性

第六章 λ-超曲面上的体积比较定理及其应用

6．1 λ-超曲面上的体积比较定理

6．2 体积比较定理的一些应用

第七章 λ-超曲面上有关几何拓扑问题的一点注记

7．1 外半径的估计

7．2 内径估计

7．3 λ-超曲面在无穷远点处的拓扑

7．4 λ-超曲面的紧性

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果