隐式区域上的等几何分析

摘要

数值方法是推动现代各项科学研究进展的不可或缺的工具之一。有限元被认为是处理工程应用等领域中偏微分方程相关问题的基本数值方法。但是，近年来发展起来的CAD设计与其对应的分析结果之间不能进行自动转换，这成为制约有限元发展的一个瓶颈。一个引起人们重视的改进工作，是Hughes教授等人提出的等几何分析。IGA使用准确表示CAD模型的NURBS基函数来进行有限元分析。然而，NURBS是定义在张量积网格上的，表示一个几何复杂的CAD模型时可能需要大量的控制顶点。此外，虽然在等几何分析中，单片NURBS有直接的参数化方法，但是当需要用多片NURBS来表示复杂几何时，其参数化仍是一个挑战性的课题。上述障碍驱使我们仔细考量当前的技术以推动此领域新的发展。 本文介绍了隐式区域上的等几何分析，即提出了一种针对隐式样条定义的几何区域上进行分析的新方法。这种方法将等几何与WEB方法的优势结合，通过采用与隐式定义几何相同的基函数来分析，将等几何的概念拓展应用到隐式表示中来。隐式表示能够保证精确的几何，不需要进行复杂的参数化步骤。此外，隐式表示的几何具有一些性质，如内/外点检测易于操作等。此种性质在当今增材制造，尤其在3D打印中具有关键作用。此方法基于网格，以克服与隐式表示相关的诸如全局控制的问题。鉴于可局部加细的样条常应用于CAD几何建模中，本文使用此种样条作为基函数以提高解空间的光滑性。另外，我们将WEB方法中带权拓展的基结构进行提升和推广，以提供网格上可有效灵活应用的不同类型的样条基函数。 为了克服参数化问题，我们构造了基于带权拓展PHT样条的解结构来求解二阶偏微分方程。不同于NURBS，PHT样条自然地允许局部自适应加细，同时，能够使用可接受数目的单元来隐式表示精确的几何。此外，所构造的基函数是三次多项式，具有C1连续性。它已经足够用来产生更高连续性的场逼近，同时保持矩阵的运算代价越低越好。文中展示了若干2D隐式曲线和自由形式区域上的数值例子。进一步，我们将此法应用于量子力学中的特征值求解问题。数值算例结果表明，该方法收敛性良好。 有限元中求解高阶偏微分方程的数值解具有挑战性，是由于其需要更高正则性的有限单元。另一方面，当基于网格方法中需要自适应加细时，靠近边界部分的基函数可能会面临稳定性问题。本文中，我们构造了带权拓展的THB样条的解结构，使用标准的Galerkin弱形式来求解高阶偏微分方程。特别地，我们将逐层分类的机制引入到基函数中，从而产生了层次拓展。它将计算域内具有小支集的基函数与定义域内稳定的基函数连接起来。这样构造的基函数可以局部自适应加细，同时能够保证稳定性以获得满的逼近阶。为了验证其效果，文中构造了数值例子来求解具有洞和凹角的二维隐式区域上的双调和方程。 最后，本文对将此方法应用到增材制造的可能性进行了探索。对于使用隐式三变量B样条表示的实体，我们构造基础的数值算例来检测方法的收敛结果。数值结果反映了此新方法的能力和潜力。

目录

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摘要

ABSTRACT

Contents

Chapter 1 Introduction

1．1 Overview

1．2 Literature Review

1．2．1 3D Printing

1．2．2 Finite Element Method

1．2．3 Structured Grid-based Methods

1．2．4 WEB Method

1．2．5 Isogeometric Analysis

1．3 Goals and Objectives

1．4 Outline

Chapter 2 Isogeometric Approach

2．1 Basic Concept

2．2 Domain Representation

2．3 Spline Functions

2．3．1 D-variant B-splines

2．3．2 Hierarchical B-splines

2．3．3 Truncated Hierarchical B-splines

2．3．4 Polynomial Splines over Hierarchical T-meshes

2．4 Summary

Chapter 3 Analysis Using Weighted Extended PHT-splines

3．1 Weighted Extended PHT-splines

3．1．1 PHT-splines Classification

3．1．2 Extension Formulation

3．1．3 Weight Function

3．2 Adaptivity

3．2．1 Error Estimates

3．2．2 Marking Strategy

3．2．3 Adaptive Refinement

3．3 Numerical Implementation for Boundary Value Problems

3．3．1 Finite Formulation for Poisson Equation

3．3．2 Circular Domain

3．3．3 Annular Domain

3．3．4 Freeform Domain

3．3．5 Spurious Oscillations

3．4 Numerical Implementation for Eigenvalue Problems

3．4．1 Problems in Quantum Mechanics

3．4．2 Schr(o)dinger Equation

3．4．3 Double Well-Potential

3．4．4 Examples

3．5 Summary

Chapter 4 Analysis Using Weighted Extended THB-splines

4．1 Weighted Extended THB-splines

4．1．1 Hierarchical Settings and Data Structures

4．1．2 Level by Level Classification

4．1．3 Hierarchical Extension

4．2 Biharmonic Equation

4．3 Numerical Illustration

4．3．1 Example 1

4．3．2 Example 2

4．3．3 Example 3

4．4 Summary

Chapter 5 Isogeometric Analysis in Implicit Solids

5．1 Analysis-based Implicit Representations and Additive Manufacturing

5．2 Basis Functions

5．2．1 Weight Function

5．2．2 Weighted Extended Basis

5．3 Numerical Implementation

5．3．1 Example 1

5．3．2 Example 2

5．3．3 Example 3

5．4 Summary

Chapter 6 Conclusions and Future Work

6．1 Conclusions

6．2 Future Work

Bibliography

Acknowledgements

Publications