几类随机微分方程解的定性研究

摘要

近年来，随机微分方程有了迅速发展，随机微分方程的理论在经济、生物、物理、自动化等很多领域的应用也越来越广泛.本文主要研究了几类随机微分方程解的存在性问题，本文的主要内容如下：　　第一章首先介绍了分数阶微积分、随机微分方程、概周期函数的起源、研究意义以及国内外研究现状，然后给出本文的主要研究内容，最后给出了本文要用到的定义和定理.　　第二章研究了一类带有无穷时滞的脉冲中立型分数阶随机微分方程概周期解的存在性问题.针对这类方程，首先利用分数微积分、算子半群和随机分析技巧得到了方程的mild解.然后运用Krasnoselskiis不动点定理证明了方程mild解的存在性.并在此基础上得到了这类方程概周期解的存在性.最后，给出具体实例来说明了所得结论的正确性和有效性.　　第三章研究了一类随机脉冲分数阶微分方程解的存在性和稳定性理论.针对这类方程，首先利用分数阶微积分理论以及算子半群理论给出了方程的解，并利用压缩不动点定理证明了这类方程解的存在性.然后，基于解对初始条件的连续依赖性得到了这类方程解的稳定性.最后，根据随机分析技巧和Gronwall不等式得到了该类方程解的Ulam-Hyers-Rassias稳定性.　　第四章研究了一类分数阶随机脉冲微分方程边值问题正解的存在性.由于这类分数阶微分方程中带有随机脉冲，这就增加了研究的难度.针对边值问题正解的存在性，我们主要利用锥理论的相关知识来解决.首先借助格林函数这一工具给出了这类方程解的表达式，接着利用随机分析技巧以及格林函数的具体性质来构造恰当的锥与全连续算子，最后运用锥拉伸锥压缩不动点定理得到了这类方程边值问题至少存在一个正解的结论.这些结果改进了已有的相关结论.

目录

声明

第 1 章 绪论

1.1.1 研究背景和意义

1.1.2 国内外研究现状

1.2 本文的主要研究内容

1.3 预备知识

1.3.1 分数阶微分方程

1.3.2 随机微分方程

1.3.3 概周期函数

1.3.4 符号说明

第 2 章 一类带无穷时滞的脉冲中立型分数阶随机微分方程概周期解的存在性

2.1 引言

2.2 预备知识

2.3 主要结论

2.4 实例验证

第 3 章 随机脉冲分数阶微分方程解的存在性和均方稳定性

3.1 引言

3.2 预备知识

3.3 主要结论

第 4 章 随机脉冲分数阶微分方程边值问题正解的存在性

4.1 引言

4.2 预备知识

4.3 主要结论

结论

参考文献

附录A攻读学位期间所发表的学术论文目录

致谢