非饱和土壤水运动Richards方程的大规模数值模拟

摘要

非饱和土壤水运动的预测在水资源、石油储层、多相流模型等科学与工程应用中意义重大.随着对描述、理解和预测不同复杂程度的系统动力学需求的不断增长,开发先进的数学模型和具有精准预测能力的求解器是长期所需.非饱和土壤水运动的数学模型Richards方程是依赖于时间的非线性偏微分方程.地质变迁中复杂的物理、化学和生物反应导致方程具有高度非线性,使用合理的数值方法进行高分辨率模拟是解决这类复杂问题的有效手段.在超级计算机的高精度模拟中,处理器数量与并行求解器的准确性、鲁棒性和可扩展性相关.　　本文采用全隐式中心网格有限体积法对Richards方程进行时间和空间离散.使用不同的近似方法来保证空间离散化的稳定性,并设计了自适应时间步法来加速模拟进展.全隐式算法成功的关键在于求解每个时间步的非线性代数系统,为此我们提出并深入研究了基于Newton–Krylov算法框架下的高度并行求解器,以保证非线性的相容性.在提出的并行框架中,采用带有回溯的非精确牛顿法处理非线性迭代,并使用Krylov子空间迭代法作为每步牛顿迭代下的线性求解算法.Newton–Krylov算法的成功应用很大程度上取决于减小相应的线性系统的条件数,急需预条件子来加速非线性及线性迭代的收敛.因此,我们通过基于区域分解的重叠限制加性Schwarz算子来构建预条件子.遵循“分而治之”的区域分解方法,将初始问题转化为更多相同或者相似的子问题,进而准确匹配大规模并行计算的基本特征.　　最后,数值实验结果表明Newton–Krylov全隐算法和区域分解在超级计算机平台上具有高效性、鲁棒性和可扩展性.我们在PETSc上运行测试算例,并重点关注:(1)验证全隐式求解器关于时空收敛阶的数值精度;(2)研究算法在标准算例和实际算例下的鲁棒性和高效性;(3)比较不同近似方法和自适应时间步法的效果;(4)分析并行算法在不同参数下的计算性能.

目录

声明

第 1 章 绪论

1.1 预备知识

1.2 研究背景及意义

1.3 本文的主要工作及创新点

1.4 符号介绍

第 2 章 非饱和土壤渗流模型

2.1 非饱和土壤水运动的控制方程

2.2 土壤水分特征曲线模型

2.2.1 van Genuchten–Mualem模型

2.2.2 Brooks–Corey模型

2.3 非饱和土壤水运动方程的离散

第 3 章 基于预处理的非精确牛顿法

3.1 Newton–Krylov 算法

3.2 预条件子

第 4 章 数值实验

4.1 算法验证

4.1.1 一维数值验证

4.1.2 二维数值验证

4.2 一维实际算例

4.3 二维和三维实际算例

4.4 自适应时间法在时间离散中的作用

4.5 不同近似方法在空间离散中的作用

4.6 并行计算性能

结论与展望

参考文献

附录A 攻读学位期间所发表的学术论文目录

致谢