欧拉泊松方程的mKdV极限

摘要

本文考虑欧拉泊松方程的mKdV极限。在Gardner-Morikawa变换下，通过扰动的方法从欧拉泊松方程中形式上导出mKdV方程。运用Cauchy不等式、H?lder不等式、Gronwall不等式、Sobolev嵌入定理等一系列能量不等式，结合方程本身结构得余项一致估计，证明到了欧拉泊松方程的解在ε→0时收敛到mKdV方程的解，从而在数学上严格证明了上述极限。文章主要由以下几部分构成：　　第一部分简单介绍了等离子体的物理背景、欧拉泊松方程和极限理论的研究现状以及本文的研究内容。　　第二部分介绍本文涉及的概念、不等式以及方程的一般形式。　　第三部分通过Gardner-Morikawa变换，利用扰动的方法从欧拉泊松方程中形式上推导出mKdV方程，并在此基础上导出余项系统。　　第四部分利用泊松方程本身的结构性质和Sobolev空间中的能量不等式，经过一系列推导得到关于余项的能量估计式。　　第五部分运用Gronwall不等式证明了本文的主要定理，并展望未来的研究工作。

目录

1 绪 论

1.1 物理背景

1.2 欧拉泊松方程和极限理论的国内外研究现状

1.3 本文研究的目的和研究内容

2 预备知识

2.1 基本概念

① Gardner-Morikawa 变换

③ Gronwall 不等式(微分形式)

④ Gronwall 不等式(积分形式)

⑤ 分部积分公式

⑥ Sobolev 嵌入定理

2.3 常用方程的基本形式

① Korteweg-de Vries方程

② modified Korteweg-de Vries方程

③ 双流体方程

3 mKdV 方程的形式导出

3.1 mKdV方程的形式导出

3.2 余项方程的导出

3.3本章小结

4 余项一致估计

4.1 基本引理

4.2 零到二阶估计

4.2.1 复杂项I1(γ)的估计

4.2.2 复杂项 2I(γ)的估计

4.3 高阶估计

4.4 （）(2,ε)的估计

4.5 本章小结

5 结论与展望

5.1 主要结论

5.2 后续研究工作的展望

参 考 文 献

附录

A. 作者在攻读硕士学位期间发表的论文目录

B. 学位论文数据集

致谢

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