基于样条的高阶矩阵微分方程近似解

摘要

科学与工程计算中的一个最重要的内容就是求解各种各样的微分方程或方程组的数值解。科学技术、工程中的大量数学模型可以用微分方程来描述，很多学科的基本方程本身就是微分方程。自从微积分理论创建以来，人们就尝试用微分方程来描述很多自然现象，希望能掌握其发展变化的规律。
　　 矩阵微分方程经常出现在一系列物理模型和工程模型中。除了数学模型中的问题常常写成矩阵的形式外，有些特殊的方法为了解决数量或向量问题也常以矩阵形式出现，这方面的很多例子都包含对边界值的研究。纵观带有初值条件的数量或向量问题的各种解法，可以采用解偏微分方程的数值积分方法或者采用求解非线性方程的方法。
　　 本文主要基于四次矩阵样条构造形如(公式略)的高阶矩阵线性微分方程初值问题的数值解法。给出实现算法和数值解的近似误差估计以及数值实例。首先将高阶矩阵微分方程降阶，转化为一阶矩阵微分方程，然后利用四次矩阵样条构造一阶矩阵线性微分方程的数值解法，从而解决上述类型的高阶矩阵微分方程问题。实验结果表明计算精度在O(h6)，说明该方法对实际问题的求解提供了一种可行的计算方法。

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论文说明：图表目录

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致谢

第一章引言

1.1研究背景

1.2目前研究现状

1.3论文结构

第二章样条函数与矩阵理论

2.1样条函数基础知识

2.1.1样条函数

2.1.2样条插值

2.2函数矩阵和矩阵微分

2.2.1函数矩阵

2.2.2函数矩阵的微分

2.3矩阵范数

第三章一阶矩阵微分方程的数值解法

第四章高阶矩阵微分方程的数值解法

4.1算法介绍

4.1.1降阶

4.1.2求解

4.1.3算法

4.2示例

第五章结束语

5.1总结部分

5.2今后要研究的问题

参考文献