奇异点附近的一种对称非均匀细分算法

摘要

NURBS和细分曲面造型技术是设计和表示自由曲面的两个主要技术，它们都是基于均匀B-样条。NURBS是CAD系统中基本造型工具，而细分曲面造型技术只是在动画和娱乐领域中应用比较广泛。由于细分造型技术可以处理任意拓扑的网格，因此在CAD系统中引入细分造型技术，会使CAD系统的功能更加强大。同时，非均匀和任意次数是NURBS的特性，在细分造型技术中加入这两个特性，也是好的补充。本文围绕细分造型技术和CAD系统的相容性问题进行了进一步的研究。
　　本文首先介绍了Lane-Riesenfeld节点插入算法，然后由此引出一种非对称的任意次数非均匀B-样条曲线细分算法和一种对称的任意次数非均匀B-样条曲线细分算法。在此基础上，提出一种基于B-样条的非均匀曲面细分算法，其中的思想和均匀Lane-Riesenfeld节点插入算法相似。这种新的细分曲面造型方法和NURBS有较好的相容性，细分后得到的极限曲面为张量积样条曲面，能精确表示任意次数的NURBS曲面。对于任意拓扑的网格，此细分算法先将奇异面全部转化为规则面，然后将价为3的奇异点附近的网格转化为Polar结构，得到的极限曲面在奇异点附近达到一阶连续、曲率有界，细分得到的曲面可以任意的逼近张量积样条曲面。如果奇异点均可采用Polar结构覆盖，本文的细分算法得到的极限曲面处处都是张量积样条曲面。与Thomas J.Cashman，Malcolm A.Sabin等人提出的细分算法相比，在处理奇异点的时候，本文的算法更加简洁有效。

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文摘

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第一章 绪论

1.1 计算机辅助几何设计的发展

1.1.1 CAGD中样条曲线曲面的发展历史

1.1.2 CAGD曲线曲面细分算法的发展历史

1.2 本文的提出

1.3 本文的主要内容

第二章 B样条曲线曲面的Blossoming

2.1 de Casteljau算法的Blossoming

2.2 Blossoming的存在唯一性

2.3 de Boor算法

2.4 B-样条曲线的基本性质

2.5 B-样条曲线的Blossoming和对偶泛函

2.6 张量积B-样条曲面的Blossoming

第三章 B-样条曲线的细分算法

3.1 Boehm节点插入算法

3.2 Oslo算法

3.3 Lane-Riesenfeld“refine and smooth”节点插入算法

3.4 推广的“refine and smooth”细分格式

3.5 一种非对称的任意次数非均匀B-样条曲线细分算法

3.6 一种对称的任意次数非均匀B-样条曲线细分算法

3.6.1 问题陈述

3.6.2 算法

3.6.3 例子

3.7 小结

第四章 奇异点附近的一种对称非均匀曲面细分算法

4.1 规则拓扑的对称非均匀细分

4.1.1 细分后控制顶点的Blossoming值

4.1.2 张量积B-样条曲面片的细分算法

4.1.3 张量积B-样条曲面的边界曲线

4.1.4 例子

4.2 具有奇异点的任意拓扑的对称非均匀细分

4.2.1 Polar结构和C2展式

4.2.2 C2Polar样条基

4.2.3 C2Polar样条的构造

4.2.4 奇异点附近节点向量的编码

4.2.5 任意拓扑的对称非均匀细分格式

4.3 小结

第五章 总结与展望

5.1 全文总结

5.2 今后的工作展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文