边界元法中几乎奇异积分的二次元算法研究及其在三维声场问题中的应用

摘要

边界元法一直存在着几乎奇异积分的难题,使得边界元法的工程应用受到限制。目前边界元法关于线性单元的几乎奇异积分问题算法比较成熟,但对高阶几何单元尤其是三维高阶几何单元几乎奇异积分计算仍缺乏一种行之有效的解决方法。然而工程实际中多数问题的几何边界非常复杂,采用高阶几何单元显然能更好的拟合问题的真实边界,其结果也更加精确。因此对高阶几何单元几乎奇异积分问题的研究势在必行。
　　本文首先阐述了边界元法的基本理论,对弹性力学、位势、声场等问题的边界积分方程基本解进行剖析,分析了边界积分方程的几乎奇异性。接着回顾了边界元法线性单元几乎奇异积分正则化算法思想,并拓展此方法,对边界元法高阶几何单元几乎奇异积分进行系统研究,将计算高阶单元几乎奇异积分的半解析算法应用于三维声场问题边界元法分析。
　　本文的高阶单元几乎奇异积分的半解析算法以4节点四边形二次单元为例,分别在整体坐标系、局部直角坐标系和局部极坐标系下剖析单元的几何特征。根据泰勒展开公式将三维声场问题基本解转化为多项式形式,通过加减项的方式在发生几乎奇异积分单元上将边界积分方程核函数转化为奇异核函数和非奇异核函数两部分,对于含有奇异核函数的积分项,采用扣除法把几乎奇异积分转化为非奇异积分和奇异积分两项之和。其中非奇异积分用常规Gauss数值积分计算,而奇异积分在局部极坐标系下通过分离变量的方式推导出对极变量积分的解析计算公式,对角变量积分用常规Gauss数值积分计算。本文算例表明本文给出的高阶单元几乎奇异积分的半解析算法可行性强、精度高。
　　高阶几何单元几乎奇异积分半解析法具有普适性,可以推广应用于其他各类物理场几乎奇异积分的计算,极大地拓宽了边界元法在工程实际中的应用范围。

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表 格 清 单

第一章 绪 论

1.1 计算力学及其数值方法概述

1.2 边界元法的发展历史

1.3 声学问题的研究进展

1.4 本文的工作背景和主要内容

第二章 边界元法基本原理与几乎奇异积分问题

2.1 边界元法基础知识

2.2 边界元法中几乎奇异积分问题

2.3 本章小结

第三章 声场边界元法基本理论

3.1 声场基本概念和基本假设

3.2 声场边界条件

3.3 三维声场波动方程

3.4 三维声场问题线性单元几乎奇异积分的正则化

3.5 本章小结

第四章 三维边界元法二次单元几乎奇异积分半解析算法及其在三维声场中应用

4.1 三维边界元法4节点四边形二次单元的几何参数

4.2 4节点四边形曲面单元的Ⅰ型几乎奇异积分

4.3从 1 2 3ox x x 系到o?? 系的坐标变换及法向量

4.4 三维声场边界元法

4.5 数值算例

4.6 本章小结

第五章 全文总结与展望

5.1 全文总结

5.2 展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文

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