环R上完备码和环S上循环码的计数研究

摘要

近些年来，为了得到性能优质的线性码，许多学者将研究领域扩展到了有限环上。通过Gray映射建立了有限域上的线性码和有限环上的线性码的联系，我们可以得到一系列优质性能和参数的码。本文主要研究环Fq+uFq+u2Fq+…+uk-1Fq上关于齐次重量的完备线性码的存在性问题以及环Fq+uFq+vFq+uvFq上循环码的计数公式，具体内容如下:
　　(1)文章约定R=Fq+uFq+u2Fq+…+uk-1Fq，其中uk=0，q为某一素数幂，研究环R上的线性码关于齐次重量的完备性，得到了环R上的线性码的球形填充界，并且利用这些界去检验线性码的完备性，讨论了环R上2种特殊情况下关于齐次重量的完备线性码的存在性。
　　(2)讨论了环S=Fq+uFq+vFq+uvFq上长度为n的循环码的计数公式，其中u2=0，v2=0，uv=vu，（n，p）=1。通过中国剩余定理，问题转化为对商环(R)=（Fq+uFq+vFq+uvFq）[x]/(f(x))理想的分类，其中f(x）为环Fq+uFq+vFq+uvFq上的基本不可约多项式。进一步分析，完全分类了环(R)的理想，从而给出长度为n的循环码的计数公式。

目录

声明

致谢

摘要

第一章 绪论

1．1 知识背景与现状

1．1．1 编码与编码理论

1．1．2 编码理论的发展

1．2 有限链环上关于齐次重量完备码的研究进展

1．3 有限非链环Fq+uFq+vFq+uvF4上循环码的研究进展

1．4 本文的研究内容

第二章 基础知识

2．1 代数基础知识

2．2 码的基础知识

2．3 码的检错和纠错能力

2．4 有限环的齐次重量

第三章 环Fq+uFq+u2Fq+...+uk-1Fq上关于齐次重量的完备线性码的存在性问题

3．1 预备知识

3．2 环R上线性码的完备性

第四章 环Fq+uFq+vFq+uvFq上循环码的计数公式

4．1 预备知识

4．2 环Fq+uFq+vFq+uvFq上的循环码的计算公式

第五章 总结与展望

参考文献

攻读硕士学位期间的研究成果