与Navier-Stokes方程有关方程类的非齐次与非线性边值问题解的存在性

摘要

三维Navier-Stokes方程与Euler方程整体光滑解的存在性是一个重大的公开问题.即使是粘性系数σ=0的二维情形的Euler方程是否有强Lax对仍然是公开的.本文研究与Navier-Stokes方程有关的方程类.主要包括千禧年七大问题之一的Navier-Stokes方程, Euler方程与Schr(o)dinger方程的非齐次与非线性边值问题整体解的存在性，blow up解的存在性.本文提出了(I,J)型相似解方法,构造出了二维Euler方程一些整体光滑解.从而就一些情形利用(I,J)型相似解,建立了二维Euler方程解的适定性.由于Schr(o)dinger方程理论较为完善，如果把Navier-Stokes方程和Euler方程转化为Schr(o)dinger方程就可以得到很多关于Navier-Stokes方程和Euler方程的许多新的结果.鉴于Euler方程转化为较复杂的Schr(o)dinger方程,本文考虑这些比较复杂的Schr(o)dinger方程,即此方程含有时间分数阶,空间分数阶及分数次求导的非线性项.据本文的作者所知,目前所有的文献至多包含两种情形.三种分数阶同时出现不能沿用现行方法,为此本文提出了一种新型弱解.本文由以下几章组成:　　第一章，主要介绍有关Navier-Stokes方程, Euler方程和Schr(o)dinger方程的物理背景和数学上研究情况.　　第二章，研究Navier-Stokes方程,Euler方程的适定性.给出了二维不可压Euler方程（I,J）型相似解的方法，并得到了二维不可压Euler方程的一系列的（I,J）型相似解（精确解).这些解包括所有的孪生波解，一些新的奇异解和一些能量有限的整体光滑解.同时得出二维不可压Euler方程的孪生波解和仿射解分别是行波解和常向量的结论.证明了二维不可压Euler方程的的初边值问题解的唯一性，讨论了解的稳定性,最后给出了三维不可压Euler方程的一些按段光滑的精确解和一个例子.这个例子表明了当粘性系数趋于零时三维Navier-Stokes方程的解可以不是Euler方程的解.　　第三章，由于Navier-Stokes方程可以转化为Schr(o)dinger方程,因此可以通过研究Schr(o)dinger方程来研究Navier-Stokes方程.本章研究至今尚未被研究过的关于时间t,空间都是分数阶导数且含有带分数阶导数的非线性项的Schr(o)dinger方程.本章给出了所研究的分数阶Schr(o)dinger方程弱解的定义,接着用紧致性理论证明了弱解的存在性.给出了分数阶Schr(o)dinger方程的一些先验估计，根据Galerkin方法证明了方程解的存在性.在本章的最后讨论了吸引子的存在性.

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第1章 引言

第2章 Navier-Stokes（Euler）方程非齐次和非线性初边值问题

2.1 （I,J）相似解方法初步构想

2.2 （I,J）相似解方法解Euler方程

2.3 孪生波解

2.4 不存在非平凡仿射解

2.5 唯一性

2.6 方程及其旋度方程的稳定性分析

2.7 3+1 维Navier-Stokes 方程的精确解

第3章 分数阶广义耦合的非线性Schr?dinger方程整体吸引子的存在性

3.1 Navier-Stokes方程与Schr?dinger方程之间的联系及问题提出

3.2 预备知识

3.3 分数阶偏微分方程

3.4 对Ut的估计

3.5 方程(3.9)-(3.10)的先验估计

3.6 CNLS 方程的一些先验估计

3.7 弱解的存在性

3.8 解的唯一性

3.9 整体吸引子

总结与展望

参考文献

在学期间发表的学术成果及获奖情况

致谢