考虑载荷大小和方向不确定性的连续体结构拓扑优化

摘要

以结构柔顺度为目标的结构拓扑优化方法已经成为最大刚度结构创新构型设计的重要方法。载荷等外界因素的不确定性对结构最优构型有着重要的影响，因此结构拓扑优化模型需要包含设计目标、约束等性能的均值与方差的统计指标。均值与方差的准确与快速计算成为不确定性结构拓扑优化设计的一个难点，需要研究均值与方差的高效分析方法。稳健性设计已经成为考虑不确定性影响的结构构型设计中的一个重要方法。稳健性设计要求结构平均意义上的性能（均值）最优的同时，还要求结构不确定性参数偏离引起的的结构性能偏移（标准差）不能太大。因此，优化模型中如何综合考虑这些指标的相互影响，如何定义一个合适的描述指标是另一个重要问题。目前的稳健性设计中，都采用均值与标准差描述结构的稳健性，而采用两者加权和的形式是一个比较好的思想，但是不同的权系数的组合会获得不同的结构构型。因此，需要研究权系数的选取规则，提出合适的稳健性描述指标。针对上述需求，本文用解析的方法研究了不确定性荷载作用下结构柔顺度的均值与方差的解析求解方法;研究了均值与方差的加权和形式的稳健性描述指标中权系数的选取规则，提出了一种合理的描述指标，建立了稳健性拓扑优化模型。　　本文的研究工作如下:　　(1)考虑载荷大小和方向不确定性的柔顺度期望和方差的解析公式。在载荷大小和方向都服从正态分布的前提下，研究了具有不确定性荷载的柔顺度期望和方差的解析求解方法，将结构柔顺度表示成确定性荷载对应的互柔顺度与荷载大小和方向正余弦乘积之和的形式，将均值与方差的计算，转化成荷载大小乘积的均值以及方向角度的三角函数的幂函数或乘积的均值问题。通过带有三角函数的高斯积分的求解，提出了一系列描述载荷不确定性的均值函数，给出了柔顺度期望和方差的精确解析公式，并且用数值算例验证了该方法的快速准确性。利用所导出的解析公式，求解以柔顺度期望为目标的稳健性拓扑优化问题，获得了典型设计实例的构型设计。设计结果表明考虑载荷大小和方向的不确定性对于结构拓扑优化的结果有较为显著的影响，也验证了解析公式的正确性和拓扑优化模型的有效性。　　(2)稳健性描述指标与稳健性拓扑优化模型。稳健性设计要求同时考虑结构的平均性能和结构不确定性参数引起的结构性能偏移。为了描述稳健性设计的要求以及构件优化模型，首先针对以结构柔顺度期望及其标准差的加权和形式的目标函数，研究加权系数的选取规则，提出了一个称为“柔顺度的类变异系数”的合适的稳健性描述指标。该指标具有明确的物理意义而更具合理性。其次，研究建立了基于变异系数最小的稳健性拓扑优化模型。在载荷大小和方向不确定的基础上，进行了数值算例的比较，验证了本文建立的稳健性拓扑优化模型的正确性，它能够有效的减小柔顺度的变异系数，提高了结构的稳健性。　　(3)基于随机有限元法的结构柔顺度期望优化设计模型。将基于泰勒展开的随机有限元法引入到拓扑优化柔顺度期望的求解中来，在考虑载荷不确定性的基础上，研究并推导出了与前文不同的另一种柔顺度期望的解析求解公式。相应的算例验证了该方法的有效性，为未来能更好的将随机有限元法应用到拓扑优化中做出了基础性的研究。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 工程中不确定性问题概述

1．2 结构拓扑优化的研究

1．3 稳健性设计研究的进展

1．4 随机有限元法概述

1．5 本文内容安排

2 考虑载荷不确定性的柔顺度期望与方差的解析公式

2．1 引言

2．2 柔顺度均值与方差的解析求解

2．2．1 互柔顺度

2．2．2 均值函数

2．2．3 柔顺度均值与方差的解析表达

2．3 数值验证

2．3．1 桅杆结构

2．3．2 底边固支结构

2．4 柔顺度期望的拓扑优化算例及讨论

2．4．1 单载荷的底边固支结构

2．4．2 悬臂梁

2．4．3 桅杆结构

2．5 本章小结

3 基于稳健性指标的载荷不确定拓扑优化

3．1 稳健性目标函数

3．2 稳健性拓扑优化模型的建立

3．2．1 柔顺度均值与方差的解析公式

3．2．2 稳健性拓扑优化模型

3．2．3 敏度分析

3．3 稳健性拓扑优化算例及讨论

3．3．1 底边固支的板

3．3．2 悬臂梁

3．3．3 桅杆结构

3．4 本章小结

4 基于随机有限元法的连续体结构拓扑优化初探

4．1 基于泰勒级数展开的随机有限元法介绍

4．2 考虑载荷大小和方向不确定的拓扑优化

4．2．1 泰勒展开法的推导

4．2．2 柔顺度期望的表达

4．3 算例以及讨论

4．3．1 单载荷的底边固支结构

4．3．2 桅杆结构

4．4 本章小结

结论

参考文献

附录

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢