用线性信息逼近Nikolskii与Sobolev函数

摘要

上个世纪50年代以来， Traub，Wozniakowski等人开始研究多变量函数的数值积分与逼近问题的计算复杂性，并得到了一些重要结论。本文正是在他们的研究方法指导下，概括并证明了在一些经典的多变量函数空间中逼近问题计算复杂性的结果，使其中的逼近问题复杂性研究更加完善。如经典的Holder、Sobolev等Banach空间。 并且本人也发表了关于各向异性的的Nikolskii空间与各向异性的Sobolev空间中逼近问题复杂性的一些见解，给出了这些空间中逼近问题的最优算法与误差，并且说明这些算法的收敛速度。详细证实了在各向异性的多变量函数空间中，一般的研究逼近问题的计算复杂性的方法也是可行的。同时说明各向同性与各向异性的Nikolskii空间与Sobolev空间在逼近问题复杂性的结论上的一致性与区别．揭示了由于各向异性的微分指标对逼近问题产生的偏差与影响．对于经典的多变量周期函数空间中的逼近问题，已经产生了许多重要研究成果。主要体现在逼近方法的准确性和精确性方面，如三角多项式插值算法、函数空间的嵌入定理等。本文试图在不同框架下，使得这些重要结论在研究数值问题复杂性方面得到具体的应用。如在第四章中，我们引入了Dirichlet核函数、Vallee-Poussin核函数构造线性算法，去解决各向异性周期Sobolev空间中逼近问题的上界估计，以及选取三角多项式列去构造各向异性Besov空间中逼近问题的最优算法．其结果对多变量函数空间中逼近问题复杂性的发展起到一定的推动作用。 本文的主要研究方法是利用泛函分析为主要工具，特别是函数空间的嵌入定理、Gelfand数与Г函数方法。研究的角度是在确定、随机、平均框架下，以标准信息和线性信息为信息算子，在一定函数空间及其子空间中寻找逼近问题的最优数值算法，证明该算法的正确性；在算法的精确性方面，主要是得到算法估计的误差，特别是算法的第n个最小误差，进而说明该数值算法计算效率即计算的复杂性。 另外，我们选用不同的信息类时，以比较同种算法的收敛速度，以及会对第n个最小误差产生什么的影响，进一步地揭示出逼近问题的易处理性与不易处理性．我们也比较在确定与随机框架下，第n个最小误差的的收敛速度会有什么样的差别．再一次证实了第n个最小误差的最优收敛速度的决定因素。 此论文共有四章第一章预备知识，描述了信息计算复杂性的发展历程和当今主流方向，并且介绍信息计算复杂性的一般理论，说明了在一定的函数空间中，在一定的信息类下，第n个最小误差是研究逼近问题复杂性的重要手段。 第二章概括了Traub，Wozniakowski,Heinrich,Novak等人的主要结果，得出了若干函数空间中逼近问题的计算复杂性，并完善了一些结果。对于Holder空间，主要得到，我们主要得到其逼近问题的复杂度为O(n-r/d)．这一章具体地介绍了经典的多变量函数空间中逼近问题复杂性的一般研究方法。 第三章主要研究各向异性非周期函数的逼近问题。介绍了各向异性的含义，构造了若干多项式算法以及Gelfand number方法，说明了在各向异性的的Nikolskii空间与各向异性的Sobolev空间中也可以用类似经典空间的办法去讨论逼近问题复杂性，并给出了在两种信息类以及确定框架下逼近问题误差界的估计。 第四章主要研究各向异性周期函数空间的逼近问题，包括各向异性的周期Sobolev、Nikolskii、Besov空间。从新的角度构造了一些三角多项式算法来估计上界，利用bump function以及Gelfand number方法估计下界．特别对于Besov空间，选择两种不同的信息类，给出了简单情形下随机框架内逼近问题的一些结果。并指出了在标准信息下未解决的问题。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章预备知识

§1.1信息复杂性基础

§1.2一般理论

第二章若干经典函数空间中逼近问题复杂性

§2.1研究背景

§2.2 H(o)lder空间中的逼近问题

§2.3经典Sobolev空间中的逼近问题

第三章各向异性函数空间中逼近问题复杂性

§3.1各向异性Nikolskii空间与各向异性Sobolev空间

§3.2逼近问题复杂性

第四章各向异性周期函数空间中逼近问题复杂性

§4.1背景与预备知识

§4.2各向异性周期Nikolskii与Sobolev空间中逼近问题

§4.3各向异性Besov空间中逼近问题复杂性

REFERENCES

致谢

读研期间科研情况