次单群和特征单群小度数Cayley图的若干性质

摘要

在群与图的研究中，图的对称性一直是一个热门问题．它主要通过图的自同构群具有某些传递性来描述．这类图的典型代表是Cayley图和Sabidussi陪集图．由于单群是构成群的基石，且具有群的内在性质，因此一直是群论研究的核心．李才恒和徐尚进在文献[1，2]里，证明了有限非交换单群的连通3度弧传递图除两个471/2阶的非正规5-弧传递图外都是正规的，这个结果不仅圆满解决了有限非交换单群的连通3度弧传递Cayley图的正规性问题，也等于给出了有限非交换单群的连通3度弧传递非正规Cayley图的完全分类．而非可解的次单群是不可解的且只有一个正规子群的有限群，特征单群是同构单群的直积，它们都与单群有着密切的联系．因此研究它们的小度数Cayley图的若干性质是很自然的也是很有意义的． 关于Cayley图对称性的研究关键取决于对其全自同构群了解的深度．众所周知，决定图的自同构群是个基本的问题也是一个很难的问题，只对某些特殊群的Cayley图它们的自同构才被决定，同时Cayley图的正规性也是这方面的一个基本问题．本文围绕这些问题重点考查了非可解次单群中典型的一类群二维线性群的小度数Cayley图的图同构和它们的正规性． 关于Cayley图的同构问题自1967年Adam提出了一个关于每个有限循环群都是DCI-群的猜想以来，一直是该领域的一个非常活跃的问题，李才恒证明了单群都是3-CI群，相应的我们就想知道非可解的次单群是不是3-CI群呢?就这个问题我证明了最小的非可解次单群S5是非3-CI群． 本文主要围绕以下几个方面展开： (1)研究了二维线性群PGL(2,p)(p是一个素数)的连通3度和4度边传递Cayley图的自同构群的结构和它们的正规性． (2)考查了S5的连通3度Cayley图，给出了它们的完全分类，并得出了它的3度Cayley图都是正规的且是非3-CI的． (3)研究了非可解特征单群的连通3度弧传递Cayley图的正规性，得出仅当G≤S24且关于它的Cayley图是5-弧传递时才是非正规的． 本文主要采用的是群论方法．文中有关群论和代数图论的概念可参考文献[3,4,5]．

目录

文摘

英文文摘

论文说明：术语、记号

声明

Chapter 1 Introduction

1.1 Basic concepts and conclusions

1.2 Background and main results

Chapter 2 Small Valency Cayley Graphs of PGL(2，P)

2.1 Preliminaries

2.2 Cubic Cayley graphs of PGL(2，P)

2.3 Tetravent edge-transitive Cayley graphs of PGL(2，P)

Chapter 3 The Normality and CLProperty of Cubic Cayley Graphs on S5

3.1 Preliminaries

3.2 Main results

Chapter 4 The Normality of Cubic Arc-transitive Cayley Graphs on Character Simple Groups

4.1 Preliminaries

4.2 Main results

References

Acknowledgements

攻读硕士学位期间发表的学术论文