梁板挠曲与非线性振动分析的自适定小波方法

摘要

有限区域初边值问题的小波方法中，解的小波形式在边界上的构造以及对问题边界条件的处理一直是这一方法中所关注的关键问题，目前对此尚未建立统一的途径．为此本文开展了以下工作： 1)．首次提出了一种改进的、对于有限区域初边值问题均适用的小波方法．该方法对边值问题和初值问题的解给出了统一的小波形式，即，通过边界处和区域内小波系数构造Lagrange插值多项式对区域外的小波系数进行外插，从而实现了问题的解向区域外的连续延拓并且完全由区域内的小波系数表征．在此基础之上，对问题的解给出了显式含有所有边界条件(即函数值及其导函数值)的小波形式，以此实现了边界条件的准确处理以及力学问题的求解． 2)．对于梁板结构静/动力学问题，基于上述小波形式以及梁板结构的变分原理，建立了能够统一处理梁、板静/动力学问题的各类齐次、非齐次边界条件和屈曲问题的各类边界支撑条件的小波－变分法，并得到了统一形式的离散静/动力学方程和屈曲问题的特征值方程．由于本文提出的改进小波形式及其小波基函对任意形式的边界条件保持不变，对于给定的梁板结构的横截面和材料性质，离散静/动力学方程、特征值方程无论形式上，还是方程的系数矩阵的值对于各类齐次、非齐次边界条件均保持不变性；同时，本文提出的小波形式中，小波系数是独立的，从而由变分法所建立的离散静/动力学方程、特征值方程自动封闭而且是适定的，对于任意给定的齐次或者非齐次边界条件，离散静/动力学方程存在唯一解．这一方法解决了现有梁板结构静/动力学的小波－Galerkin方法和小波－有限元方法处理非齐次边界条件时存在的离散静/动力学方程不适定的问题，以及对于不同形式的边界条件，离散方程的形式和系数矩阵的值不统一的问题． 3)．基于本文提出的改进小波形式，通过配点方法，将有限时域[0，T]上的多自由度系统非线性振动的初值问题转化求解一组非线性代数方程组，从而建立了非线性振动初值问题的多分辨率、自适应小波配点方法，并针对非线性性给出了基于同伦算法的小波自适应算法和程序。基于本文的小波形式，多自由度系统的非线性振动方程(通常为二阶时间常微分方程组)的初值问题可被直接转化为一组适定的非线性代数方程，而无需事先将其转换为状态方程．因此，与现有的基于状态方程的小波配点方法相比，本文方法所得的非线性代数方程组的未知数个数仅为前者的1/2；从而大大降低了计算所需的存储空间，至多为现有小波配点方法所需存储空间的1/2；同时大大提高了计算效率，至少是现有小波配点方法的2倍． 4)．很多振动控制系统可以表示为具有时滞的多自由度动力系统，本文尝试了将小波自适应方法应用到时滞系统的求解和稳定性分析．首先基于现有的小波自适应分解和重构算法得到了 apaace逆变换的自适应小波数值计算公式，应用该公式将多自由度多时滞线性振动系统近似等价的转换成映射动力系统．由此不仅可求解原时滞系统的初值问题，同时可给出其最右特征根近似值，从而判定其稳定性，并且能够在选定的系统参数平面上给出近似的稳定区域及其边界．与已有的线性多步法相比，本文可避免将时滞振动方程转换成状态方程，从而所得的映射矩阵的阶数将小于前者．

目录

文摘

英文文摘

声明

致谢

第一章绪论

§1.1小波在偏微分方程边值问题中的应用

§1.2小波在梁、板结构的力学问题中的应用

§1.3小波在初值问题求解中的应用

§1.4本文工作

第二章基本小波理论

§2.1积分(F)ourier变换到积分小波变换

§2.2 (F)ourier级数和小波级数

§2.3多分辨分析与双尺度方程

§2.4 Daubechies正交小波及其尺度函数

§2.5 Daubechies小波和尺度函数的自相关

§2.6插值尺度函数的导数以及连接系数计算

第三章梁和薄板弯曲、屈曲问题的小波变分法

§3.1变分原理以及小波-Galerkin方法简述

§3.2梁的挠度解的改进小波形式

§3.3梁弯曲问题的小波变分法

§3.3.1离散动力学/静力学方程的建立

§3.3.2梁的弯曲问题案例分析

§3.4薄板小挠度弯曲以及失稳问题的小波—变分方法

§3.4.1薄板挠度解的改进小波形式

§3.4.2薄板小挠度弯曲问题的小波变分形式

§3.4.3薄板失稳问题的小波变分形式

§3.4.4薄板弯曲问题以及屈曲问题案例分析

§3.5小结

第四章多自由度系统非线性振动的自适应小波配点方法

§4.1单自由度系统振动解的改进小波形式

§4.2多自由度系统非线性振动的多分辩率小波配点法

§4.2.1存储量和计算效率分析

§4.2.2案例分析

§4.3多自由度系统非线性振动问题的多分辨率自适应小波配点法

§4.3.1振动解的改进自适应小波形式

§4.3.2解的导数计算和导数算子

§4.3.3自适应小波配点方程

§4.3.4自适应算法以及同伦算法

§4.3.5存储量以及计算效率估计

§4.4自适应小波配点法案例分析

§4.4.1 10自由度系统的线性振动

§4.4.2 Duffing强迫振动

§4.4.3 Van der Pol强迫振动

§4.4.4 10自由度非线性系统受迫振动

§4.5小结

第五章小波方法在时滞线性系统稳定性分析中的应用

§5.1 (F)ourier、(L)aplace逆变换的小波数值计算

§5.2基于自适应小波公式的(L)aplace逆变换公式

§5.3单自由度线性振动

§5.4单时滞情形

§5.5多自由度多时滞系统

§5.6硬盘磁头定位控制系统

§5.7小结

第六章结束语

参考文献

附录