一类抛物型偏微分方程解的最优正则性估计

摘要

正则性理论历史悠久，早在1900年巴黎召开的国际数学家大会上，D.Hilbert提出著名的23个公开问题中就有两个关于方程解的正则性论述，这凸显了正则性理论研究的难度与重要意义。
　　 正则性理论是近代偏微分方程领域中的研究热点和极具挑战的问题之一。它包括Lp估计，Schauder估计，Krylov-Safanov估计，DeGiorgi-Nash估计，等等。正则性理论在研究椭圆型和抛物型方程中起着重要作用，它是研究椭圆型和抛物型方程解的存在性，唯-性和正则性的基础。Sobolev空间是20世纪分析学中最有力的工具之一，在数学领域中被广泛的使用和研究。很多偏微分方程的正则性都是在Sobolev空间中研究的，但随着Orlicz空间的引入Sobolev空间中的正则性理论被推广到更广泛的Orlicz空间中研究，逐渐成为了国内外偏微分方程工作者关注的焦点。
　　 本文主要是关于抛物型薛定谔方程及高阶多调和方程的正则性估计。对于抛物型薛定谔方程通过特征化抛物型薛定谔算子的域，从而对方程的维数不加任何限制，最后得出方程在Orlicz空间中的最优估计；对于借助于简化后的迭代-覆盖方法，讨论了高阶多调和方程在Orlicz空间中的正则性理论。
　　 本文的组织结构如下：第一章首先介绍了偏微分方程解的正则性理论的研究背景和意义，其次阐述了Orlicz空间的基本概念以及重要结论。第二章首先介绍了抛物型薛定谔方程的预备知识和主要定理，然后接着给出了一些重要的引理及证明，最后在Orlicz空间中给出了抛物型薛定谔方程的最优正则性估计。第三章介绍了有关高阶多调和方程的预备知识和主要定理，接着给出了一些重要的引理及证明，最后讨论了高阶多调和方程在Orlicz空间中的正则性估计。