函数空间上的Toeplitz算子与sofic逼近的大尺度几何性质

摘要

函数空间上的算子理论和非交换几何作为泛函分析学科中的两个有着密切联系的重要研究分支, 得到了国内外学者们广泛的关注和研究. 特别地, 一方面, 由于Toeplitz算子在函数论、控制论、概率论、信息学、物理学等领域中的广泛应用,直到今天, 有关函数空间上 Toeplitz 算子的性质研究依然十分活跃; 另一方面, 非交换几何中的度量空间的粗嵌入问题作为近二十几年来新兴的问题, 由于其在群论、几何拓扑、Banach 空间几何学中的重要性, 引起了相关领域的学者们的极大研究兴趣. 本文主要研究了Dirichlet空间上调和符号的Toeplitz算子的谱与本质谱的连通性, Bergman空间上的Toeplitz矩阵行列式的渐近表现,以及有限生成群的sofic逼近的粗几何性质与群的解析性质或粗几何性质的关系这三部分的问题.　　关于第一部分, 我们首先定义了Dirichlet空间上符号在L1,∞1中的Toeplitz算子,研究了这类算子的有界性和紧性. 然后, 我们给出了 Dirichlet 空间上符号在（P）+M(D)的 Toeplitz 算子的核空间的明确刻画, 更进一步地, 我们证明了符号为（P）n=a0+a1（z）+……+an（z）n（an≠0）的Toeplitz算子的核空间的维数k可以取到从0到n的任意整数. 随后, 我们研究了符号在L1,∞1+（H∞）及（P）+M(D)中的Toeplitz算子的本质谱的连通性, 并详细给出了共轭解析符号的Toeplitz算子的谱, 从而是连通的. 最后, 利用上述得到的关于 Toeplitz 算子核空间的刻画, 我们研究了 Dirichlet空间上具有非平凡的调和符号的 Toeplitz 算子的谱结构. 具体地, 对于符号为a（z）+pn形式的Toeplitz算子, 其中pn是次数为n的解析多项式, 我们证明了其仅在n≤2的时候有连通谱, 而符号为（z）2+p1形式的Toeplitz算子的谱有包含0在内的有限多个孤立点, 从而是不连通的. 该部分内容具体可见本文的第三章和第四章.　　在第二部分中, 我们研究了符号在H∞(D)+C(（D）)中的 Bergman 空间上的Toeplitz矩阵的行列式的渐近表现.通过刻画Bergman Toeplitz算子的渐近可逆性以及给出其渐近逆公式,我们证明了符号在HH∞(D)+C(（D）)中的Bergman Toeplitz矩阵的第一Szeg?定理. 特别地, 对于H∞(D)+C(（D）)中的实值符号的情况, 我们证明了另一种版本的第一 Szeg? 定理也成立. 本文的第五章和第六章给出了这部分结果的具体细节.　　在第三部分中,对于粗不交并形式的度量空间,在X. Chen, Q. Wang和G. Yu所提出的度量空间的纤维化粗嵌入概念的基础上, 我们提出了几乎纤维化粗嵌入的概念. 并且, 对于任何的有限生成群, 我们得到了群的 sofic 逼近构成的粗不交并空间能够几乎纤维化粗嵌入到一致凸Banach空间的充要条件为该群能够恰当的仿射等距的作用到某个一致凸Banach空间上,推广了X. Chen, Q. Wang和X. Wang的结果. 而且, 我们还研究了带恰当的群作用的粗嵌入性质, 即, 等变粗嵌入性质,并利用群的 sofic 逼近的几乎纤维化粗嵌入性质刻画了该群的等变粗嵌入性质. 这部分的主要结果出现在本文的第八章.　　最后, 我们总结了本论文的主要研究内容, 并提出了本文尚未克服的困难以及今后会进一步考虑的问题.

目录

1 绪 论

1.1 引言

1.2 经典函数空间上Toeplitz算子的谱结构的研究背景及现状

1.3 Toeplitz矩阵的行列式的渐近表现的研究背景及现状

1.4 群的逼近序列的粗几何性质的研究背景及现状

1.5 本文的主要内容与结构

2 Dirichlet空间与Toeplitz算子的基本知识

2.1 Dirichlet空间

2.2 再生核

2.3 Hilbert空间上的算子理论

2.4 Toeplitz算子的基本性质

2.5 Berezin变换

3 Dirichlet空间上Toeplitz算子的核空间

3.1 引言

3.2 预备引理

3.3 主要结果及证明

4 Dirichlet空间上Toeplitz算子的谱理论

4.1 引言

4.2 预备知识

4.3符号在L1，∞1中的Dirichlet Toeplitz算子及其基本性质

4.4调和符号的Dirichlet Toeplitz算子的谱与本质谱结构

5 Bergman Toeplitz算子的渐近可逆性

5.1 引言

5.2 预备知识

5.3 主要结果及证明

6 Bergman Toeplitz矩阵的第一Szeg?定理

6.1 引言

6.2 预备知识

6.3 主要结果的证明

7 粗几何的基本知识

7.1 粗几何基本概念

7.2 粗几何性质

8 sofic逼近的粗几何性质

8.1 引言

8.2 预备知识

8.3 主要结果及证明

9 总结与展望

9.1 总结

9.2 展望

参考文献

附录

A 作者在攻读博士学位期间发表和即将发表的论文

B 作者在攻读博士学位期间参加学术会议情况

C 作者在攻读博士学位期间参加科研项目情况

D 学位论文数据集:

致谢

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