一维可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程若干基本波的整体非线性稳定性

摘要

本文研究如下拉格朗日坐标下一维非等熵的可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程的柯西问题:{vt-vx=0vt+p(v,θ)x=(μ(v,θ)vx/v)x+Kx,(Cv-θ/2kθθv2x/v5)θt+p(v,θ)vx=((a)(v,θ)θx/v)x+μ(v,θ)u2x/v+F(1)(v,u,θ)(0,x)=(v0,u0,θ0)(x),(v,u,θ)(t,±∞)=(v±,u±,θ±)解的大时间行为.这里x∈R，t＞0，未知函数分别是流体的比容v(x，t)＞0、速度u(x，t)、温度θ(x，t)＞0以及压强p(x，t)，而μ（v，θ），k（v，θ），(a)(v，θ)分别表示粘性系数、毛细系数和热传导系数.Cv＞0，v±＞0，u±和θ±＞0是给定的常数，且假定(v0，u0，θ0)（±∞）=（v±，u±，θ±）.Korteweg应力张量K及非线性项F由下式给出:{K=-k(v,θ)vxx/v5+5k(v,θ)-vkv(v,θ)/2v6v2x-kθ(v,θ)vxθx/v5,(2)F=θkθvxuxx/v5+vkvθ(v,θ)-kθ(v,θ)/2v6θuxv2x在本文中，假设压强p(x,t)和常数Cv由下式给出:p(v,θ)=Rθ/v=Av-γexp(γ-1/Rs),Cv=R/γ-1,(3)其中s表示流体的熵，γ＞1，A和R是正常数.
　　在γ-1和毛细系数k(v，θ)的一些小性假设下，利用基本能量方法结合Y.Kanel的技巧证明了Cauchy问题(1)的粘性接触波，以及由粘性接触波和两个稀疏波构成的复合波的整体非线性稳定性.这里整体稳定性是指初始扰动可以大.证明的关键在于得到流体比容v和温度θ的一致上、下界估计.
　　本文共分为五章.第一章主要介绍将要研究的问题及相关背景，同时给出本文的两个主要定理.第二章将给出一些重要引理，为之后定理的证明作铺垫.第三章将证明第一个主要定理1.1，即Cauchy问题(1)的粘性接触波的整体非线性稳定性.为证明它，首先作先验假设‖（θ-θ）(t)/√γ-1‖1≤N1，其中N1为某个正常数，再利用索伯列夫不等式得温度的上、下界，其次用能量估计结合Y.Kanel的技巧得出流体比容的上、下界.第四章将证明第二个主要定理1.2，即Cauchy问题(1)的由粘性接触波和稀疏波构成的复合波的整体非线性稳定性.其证明与第一个定理类似，区别在于要控制不同波族间的相互作用.第五章则是对全文的总结，并提出一些值得进一步研究的问题.

目录

声明

摘要

第一章 引言

§1．1 研究的问题及相关背景

§1．2 主要结果

§1．3 记号

第二章 预备知识

第三章 一维可压缩NSK方程粘性接触波的整体非线性稳定性

§3．1 问题的转化

§3．2 能量估计

§3．3 命题3.2的证明

第四章 一维可压缩NSK方程复合波的整体非线性稳定性

§4．1 定理1.2的证明

第五章 小结

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间的学术活动及科研成果