调和拟共形延拓和双调和映射的若干问题

摘要

调和映射和拟共形映射都是单叶函数的推广，双调和映射又是调和映射的推广.本文主要研究了上半平面的调和拟共形延拓和双调和映射的有关问题. 主要内容如下: 对于实轴上ρ-拟对称的保向同胚，Beurling和Ahlfors给出了Beurling-Ahlfors延拓，使得其为上半平面到其自身的拟共形映射.Kalaj和Pavlovi(c)利用Poisson积分公式，给出了实轴上的保向同胚可以延拓成上半平面到其自身的调和拟共形的充要条件.对于实轴上的一类具体的同胚，本文给出将其延拓成上半平面到自身的调和拟共形映射的具体表达式.对其伸张函数进行了估计，并将此伸张函数与其在Beurling-Ahlfors延拓下的伸张函数做了比较.得到了其优于Beurling-Ahlfors延拓满足的系数条件. 对于单叶解析函数和调和映射的星形半径和凸半径的问题，已经有了许多理想的研究结果.而对于双调和映射，其类似的研究并不完善.本文给出了一些系数条件，用来判断双调和映射的α(0≤α＜1)阶全星形和α阶全凸性.并利用这些系数条件，研究了Muhanna构造的一类双调和映射W的α阶全星形和α阶全凸半径.上述结果推广了Ponnusamy和Qiao对双调和映射W相关研究的内容. 本学位论文共由三章构成.第一章简要介绍了研究问题的背景，一些基本概念，记号以及本文的主要研究结果.在第二章研究了实轴上的同胚延拓成上半平面到其自身的调和拟共形映射的相关问题.在第三章研究了双调和映射的α阶全星形和α阶全凸的相关问题.