第二类非线性Fredholm积分方程的迭代Galerkin法

摘要

随着数学与计算机科学技术的迅速发展，积分方程日益受到计算数学、应用数学、计算机科学、物理及工程方面专家及科学工作者的重视。许多关于工程计算、力学、物理学及其他一些工程运用中的问题都可以转化为相应的积分方程来解决。随着线性积分方程的研究逐渐成熟以及工程问题的复杂化趋势，在较多的实际应用中，非线性积分方程能更好地描述和逼近这些实际问题。故而非线性积分方程的研究得到了极大的重视，其高精度数值算法是当今计算科学领域一个研究热点。其中第二类非线性Fredholm积分方程在数学、物理和工程计算方面都有很高的应用价值。本文主要对第二类非线性Fredholm型积分方程的相关理论性质及其求解的高精度数值解法进行了相应的讨论。
　　首先对积分方程的相关理论、积分方程的一般求解方法以及积分方程研究发展历史做了概括性叙述。同时给出了非线性方程组的常用的数值解法，如Newton法以及由迭代Newton法推广得到的解法。并对其优劣性及适应范围做了讨论。
　　其次研究了几种常用的求解第二类Fredholm型非线性积分方程的数值求解方法，如投影算法。并详细的介绍了投影法中的配置法(collocation method)，且对其理论和一般框架进行了研究，指出了其收敛性、误差等。
　　最后研究了第二类Fredholm型非线性积分方程的Galerkin以及迭代Galerkin高精度数值算法。本文选取了几组标准正交基函数(如U系统，V系统)作为Galerkin解法中使用的正交基对非线性第二类Fredholm型积分方程进行离散化。从而将非线性积分方程离散成为一组一般的非线性方程组，进而将非线性积分方程的求解问题转化成非线性方程组的求解问题。此外，研究了求解第二类非线性Fredholm型积分方程的迭代Galerkin方法相应的性质。并且给出了三个数值算例，通过算例数值解的逼近程度对Galerkin解法及迭代Galerkin法的理论进行了验证。

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第一章 绪论

1.1 积分方程概念及其分类

1.1.1 积分方程的概念

1.1.2 线性积分方程的分类

1.1.3 非线性积分方程的分类

1.2 第二类非线性Fredholm积分方程的一般理论

1.2.1 第二类非线性Fredholm积分方程解的存在性唯一性

1.2.2 非线性积分方程的常用解法

第二章 非线性方程组数值解法

2.1 Newton迭代法

2.2 由Newton法改进的相关方法

第三章 第二类非线性Fredholm积分方程的常用解法

3.1 解第二类非线性Fredholm积分方程的投影方法

3.1.1 投影法的一般理论

3.1.2 配置法(collocation Method)

3.1.3 迭代投影法

3.1.4 迭代配置法

3.2 投影解法的相关性质

3.2.1 解的可微性（正则化）

3.2.2 条件数

3.3 数值实验

第四章 第二类非线性Fredholm积分方程的Galerkin解法

4.1 正交函数系

4.1.1 典型正交函数系

4.1.2 一类特殊的正交函数系

4.2 Galerkin解法

4.3 迭代Galerkin解法

4.3.1 迭代Galerkin算法

4.3.2 迭代Galerkin近似一致收敛性

4.4 数值实验

第五章 结论与展望

致谢

参考文献

攻硕期间取得的研究成果