时域不连续伽辽金法在计算电磁学中的应用

摘要

本文对时域不连续伽辽金法(Time-domain Discontinuous Galerkin Method, DGTD)进行了基本的理论研究，并与麦克斯韦方程相结合，研究了一维和二维DGTD方法。主要包括 DGTD方法的基本理论和关键技术——数值流，以及不同时间积分策略和各种电磁边界条件在DGTD中的施加方法，最后还给出了二维形式的Debye色散媒质的建模方法。
　　论文主要工作由以下几个部分组成：
　　1.介绍了DGTD的基本理论，并同其他电磁场数值方法做了比较。通过麦克斯韦方程的守恒形式，推出 DGTD方法下的麦克斯韦方程的弱形式。其中给出了基于Legendre-Gauss-Lobatto节点的高阶节点型基函数的基本空间分布，并且详细介绍和比较了DGTD的技术核心——数值流（包括中值流和迎风流）——的不同的数值特性，并给出了基于不同数值流的DGTD离散方程形式。在得到离散方程之后，给出了两种不同的数值时间积分策略来求解常微分方程组，即龙格库塔方法和蛙跳方法。最后，在一维情况下，给出算例，并分析了DGTD的空间划分形式和插值阶数对计算精度的影响。
　　2.给出了二维形式下的DGTD一般形式，包括单元节点的数学表达式和空间分布，弱形式方程的基本形式和二维数值流的实现过程。接着，重点讨论了不同的电磁边界条件在DGTD方法下的施加方法，如 PEC，PMC等，并引入了总场散射场边界和一阶Silver-Müller吸收边界，以便计算散射问题和辐射问题。但是，为了弥补和克服一阶Silver-Müller吸收边界的性能问题，引入了单轴各向异性介质完全匹配层(Uniaxial Perfectly Matched Laye,UPML)。为了在DGTD中有效地实现UPML，使用一种叫做辅助方程法(Auxiliary Equation Method,ADE)的方法，引入辅助量去得到解和UPML的参数。进一步地给出了Debye色散介质的基本电磁特性方程，并同样使用ADE方法，建模了DGTD形式下的Debye色散介质方程，并针对Debye的离散方程，改进了时间积分策略。在数值算例中，与解析解、FEM或FDTD做比较，验证了算法的正确性。

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第一章 绪论

1.1计算电磁学的发展

1.2常用的电磁数值计算方法介绍

1.3时域不连续伽辽金法的发展过程和研究现状

1.4边界条件介绍

1.5本文内容安排

第二章 麦克斯韦方程及其守恒形式

2.1麦克斯韦方程及其理论

2.2低维麦克斯韦方程

2.3麦克斯韦方程的守恒形式

第三章 一维时域不连续伽辽金法

3.1常用符号约定

3.2一维时域不连续伽辽金法

3.3时间积分方法

3.4数值算例

第四章 二维时域不连续伽辽金法

4.1二维不连续伽辽金法的一般形式

4.2边界条件的一般施加方法

4.3完全匹配层

4.4数值算例

4.5二维DGTD下的Debye色散媒质

第五章 总结与展望

5.1全文总结

5.2后续展望

参考文献

致谢

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