交替方向乘子法求解带全变差和小波项的相位复原问题

摘要

相位复原问题是指从信号的傅里叶变换的模来恢复这个信号,在X射线衍射成像,天文成像和光学等领域有广泛的应用。由于相位信息的缺失,这个逆问题是病态的,但是随着傅立叶变换的模测量足够多,相位信息可以用一系列二次方程来恢复。要恢复的信号,在实空间有一个非零紧支集,这个支撑集约束可以和傅里叶模约束结合起来做出一个解决该问题的可行算法。这类算法中最简单的是ER和Gerchberg和Saxton提出的交替投影法,这些方法已经被广泛拓展。最显著地拓展是Fienup提出的HIO算法,该算法目前还被广泛使用。Bauschke、Combettes和Luke发现了ER、HIO和经典凸优化算法的联系,进而提出了HPR算法。Luke进一步提出了比HIO和HPR更加有效的RAAR算法。其他方法包括Elser提出的差别图算法和Machesini提出的鞍点优化算法。
　　Ptychographic相位复原问题是是一个新兴的衍射成像技术,可用于从移动探头产生的一组衍射图样恢复原图像。探头每次可以探测一部分图像。当探头所探测图像有足够大的重叠区域时,可以通过相位复原方法或者无约束最优化算法来解决该问题。
　　本文针对这两个问题,在已有的算法基础上,在目标函数中加入了全变差项和小波项,再用交替方向乘子法解该问题。这个改进增加了算法对噪音的容忍度,保证了所恢复信号的光滑性和稀疏性。最后,通过数值实验验证了该改进的有效性。

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第一章 引言

1.1 研究背景

1.2 本文的主要结构

第二章 预备知识

2.1 全变差

2.2 小波变换

2.3 交替方向乘子法

2.4 压缩感知与稀疏优化

第三章 经典相位复原问题

3.1 问题描述

3.2 主要解法

3.3 ADMM解带全变差和小波项的相位复原问题

第四章 Ptychographic相位复原问题

4.1 问题描述

4.2 主要解法

4.3 ADMM解带全变差和小波项的Ptychographic相位复原问

第五章 数值实验

5.1 经典相位复原问题

5.2 Ptychographic相位复原问题

全文总结和改进

参考文献

致谢