非线性发展方程的孤立子和非线性波相互作用研究

摘要

随着非线性系统研究的深入，人们发现很多情况下真实物理现象非常复杂以至于无法用孤立子模式甚至孤立子-孤立子相互作用模式来描述，于是构造非线性发展方程的更多可能的激发模式成为必要。本学位论文借助包括对称约化法、Painlev′e分析法、tanh函数展开法、B¨acklund变换以及Darboux变换等在内的多种非线性研究方法构建了几个重要非线性发展方程的孤立子-非线性波相互作用。
　　绪论部分，列举了论文涉及的几个经典非线性发展方程及其数学物理背景，概括介绍了非线性发展方程的孤立子解和研究工具，重点介绍了对称理论的发展历程和经典李对称法，同时阐述了论文的选题依据和研究框架。
　　第二章以2+1维Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程和1+1维非线性Schr¨odinger(NLS)方程为例，局域化与Darboux变换相关的非局域对称使得原系统的非局域对称扩展为延拓系统的李点对称。通过李对称方法找到了KP方程的“孤立子+Boussinesq型波”解、“孤立子和Korteweg de Vries(KdV)型波”解以及NLS方程的“孤立子和Painlev′eIV型波”解、“孤立子+椭圆波”解等。当移除与Darboux变换相关部分，孤立子和非线性波相互作用解退化为通常意义下的约化解。研究结果显示，孤立子和椭圆波之间的相互作用是伴有相移的弹性作用。
　　第三章研究了KdV方程非局域留数对称的局域化问题，再次采用李对称约化方法得到了KdV方程的孤立子和Painlev′eII型波相互作用以及孤立子和椭圆波相互作用。通过符号计算软件Maple形象展示了KdV方程的孤立子和椭圆周期波相互作用行为。
　　第四、五章分别利用截断Painlev′e分析法和相容tanh函数展开法获得非线性发展方程的孤立子和非线性波相互作用解，包括NLS方程的“孤立子+椭圆波”解、KP方程的“孤立子+椭圆波”解以及Konopelchenko-Dubrovsky(KD)方程的“扭结+椭圆波”解。借助Maple详细分析了孤立子和非线性波的相互作用行为。
　　最后是总结和展望。

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第一章 绪论

1.1 若干非线性发展方程及其应用

1.2 非线性发展方程的孤立子解

1.3 对称理论与对称约化法

1.4 论文的选题依据和结构安排

第二章 与Darboux变换相关的非局域对称约化

2.1 引言

2.2 KP方程的孤立子和非线性波相互作用

2.3 孤立子和非线性薛定谔波相互作用

2.4 本章小结

第三章 非局域留数对称约化

3.1 非局域留数对称

3.2 KdV方程的孤立子和非线性波相互作用

3.3 本章小结

第四章 截断Painlev′e分析法和相互作用解

4.1 Painlev ′e分析法的基本描述

4.2 NLS方程的相互作用解

4.3 本章小结

第五章 相容tanh函数展开法和相互作用解

5.1 传统tanh函数展开法的求解过程

5.2 相容tanh函数展开法的基本描述

5.3 KD方程的扭结-椭圆波相互作用

5.4 KP方程的孤立子-椭圆波相互作用

5.5 本章小结

第六章 总结与展望

参考文献

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