流体及非线性最优控制问题的有限元方法:状态受限与超收敛分析

摘要

偏微分方程最优控制理论是一个庞大的数学分支，涵盖了诸如时间控制，稳态控制，回馈控制，流体控制与分析以及用于机械制造的材料设计，晶体增长，化学反应中的最优控制等等许多方面的内容.关于这方面的理论研究长期以来一直被许多学者关注，例如文献[13，28，61，76].偏微分方程控制问题数值方法的研究在过去三十年中一直是应用数学方面一个鲜活而富有生命力的领域；其中，有限元方法在逼近最优控制包括流体控制问题解方面充分展示了它的灵活性与高效性，成为此类问题应用最广泛的数值处理方法，广大学者都已经将之作为最主要的分析手段来进行控制问题方面的数值讨论，这方面的内容在文献[47，64，73，82]以及它们的参考文献中可以看到详细的介绍与展示。
　　 流体控制作为最优控制问题一个非常活跃的方面，在实际工程和应用领域变得越来越重要起来，我们在现实的科技生活与生产实践活动中，诸如液体流，大气流，化学工程，电磁场以及放射热源和激光技术等许多方面，都能够看到大量的借助流体控制模型来实现某些应用目的精彩例子，如文献[50]与[52]-[54]及其引用文献中所述实际应用与案例模型；因此在过去十多年中流体控制正在被人们关注而成为偏微分方程控制论领域的一个热门方向，并且其理论研究已经有了长足发展，例如，在文献[1，7，18，31，32，37，43，44，45，46，48，88]和它们的引用文献中，已经讨论并得到了关于最优控制解的存在性，最优性条件，对偶状态和拉格朗日乘子的存在性与相应正则性等方面的许多结果，很自然地，关于流体控制的高效、精确的数值分析与处理方法在实际应用中也就显得尤为关键了，而有限元方法无疑成为了流体控制计算分析中一个最合适的处理工具，就在最近的一段时间里，这方面的研究工作也已经有了一些进展，如文献[18，43，45，46，56，65]中所述问题与所做工作，但是，状态受限类型问题与超收敛分析在此方面仍有许多工作需要讨论和研究。
　　 在实际应用中，人们会经常碰到状态受限的控制问题，但是，即使是关于一个线性偏微分方程作为约束条件的最优控制问题，在数值处理上，状态受限也可能会比控制受限更加有难度，因为必须解决掉由状态约束集而产生的拉格朗日乘子的分析问题。对应于属于连续函数空间状态的点态约束集的拉格朗日乘子是一个Radon测度，这种情况下，接触集会有不定的自由边界出现，这些工作可以查阅Casas在文献[22]中的工作.即使如此，一些学者仍然得出了一些这方面的数值分析结果，例如，文献[11，23，30，75].但实际上，关于状态的积分平均或者某些能量模的受限控制问题在应用中也会广泛地被关注，比如，人们很可能对于浓度或者温度在某区域中的平均值，抑或流体在某区域中的能量等物理量更感兴趣，或者，读者其实也可以在其他应用方向上(例如在研究图像处理去噪问题的文献[69]及其引用文献)发现此类模型问题的应用；而且，从另外一个方面来讲，这些被我们称作泛函型状态受限的控制问题相对于逐点状态受限问题要更容易处理一些，因为这些问题相应的拉格朗日乘子一般具有更好的正则性.在这方面，有关学者已经开始讨论并得到了一些理论研究上的结果，文献[17，19，20]及其引用文献中可以看到关于最优控制的存在性，最优性条件，拉格朗日乘子与对偶状态正则性方面的许多工作，这方面的数值分析工作也有了一些颇有成效的进展，Casas在文献[17]中对于一般半线性椭圆方程最优控制问题的有限元分析做了讨论，刘文斌，羊丹平与袁磊在文献[63，93]中对于线性问题得到了最优阶的有限元误差分析，并应用和推广了Uzawa型算法以及投影梯度算法；然而，流体方面此类问题的数值分析尚无任何结果可查。
　　 有关Stokes方程与稳态Navier-Stokes方程无论是理论分析还是数值求解方面的问题，许多学者已经做了系统而全面的研究，这方面的工作，无法以这样的篇幅来一一陈述；不过，这里仍然要提到的是，许多经典理论和传统算法，可以参阅[40，80，81]等专著中的相关论述与结论，有了这些结果，本文将主要关注流体控制的标准有限元分析。
　　 自适应有限元方法自从文献[5]中的开拓性工作以后，由于它相对于其他类型的有限元方法的高效率，使其逐渐成为科学与工程计算方面的一个热门方法.因为它是用后验误差指示子来指导剖分网格算法的，所以就使得有限元离散的精度得到明显提升，体现了该算法的高效率，具体来讲，网格是否要加密是根据由离散解所得到的误差指示子所决定的，如果需要进一步加密网格来进行计算，那么只有那些误差指示子相对较大的区域中的剖分网格才会被局部加密，从而使得那些解难于逼近(一般来说也就是误差比较大)的区域上分布更多的剖分节点；因此，目前来说，自适应有限元方法已经成为数值求解偏微分方程中，既能提高计算精度又使得计算工作量尽可能地减少的一个最合适的数值方法.关于求解初、边值问题偏微分方程数值解的自适应有限元的理论研究与实际应用，现在已经达到了一种相对比较成熟的程度，这方面的科技文献浩如烟海而难以穷尽，不过，一些与本文中所要使用或研究的方法相关的工作可以参阅[3，6，16，64，65，74，79，85，86，87，89]以及它们的引用文献。目前，多种后验误差估计方法比如分层基方法，基于局部平均即所谓的目标定向对偶加权方法以及泛函型方法等等已被广泛研究，除此之外的被称作残量型方法和重构型方法，是两种应用最为广泛的方法，在[65，68]中刘文斌与严宁宁对Stokes流的控制受限问题已经介绍并给出了残量型后验误差估计，本文将较为系统地对状态受限的Stokes流与稳态Navier-Stokes流控制问题进行残量型后验误差估计的讨论。
　　 一般来讲，在控制问题中最优的状态与控制可能会有不同的奇异性，比如最典型的一种情况，当变量受到点态障碍约束时，接触集的自有边界处很容易产生较大的梯度跳跃，如文献[59]中所述.应当指出的是，由于在同一个问题中，控制与状态是两个不同的变量，这就自然使得两个变量的奇异性分布得有可能不同，因此，如果所有变量都在同一套网格上进行离散，则显然会降低数值求解的效率，自适应多重网格在此时就显示出巨大优势了，它是以不同的误差指示子分别来决定不同网格上的加密，如果我们只关注所得最优控制的精度时，就可以在一个相对较为稀疏的网格上进行原状态方程与对偶状态方程的求解工作；而一般的关于最优控制问题数值求解的算法，主要的工作则恰恰是集中于求解原状态方程与对偶状态方程上面，从而采用多重网格就会节省大量的计算工作，因此本文中的大多数最优控制问题的有限元逼近都将建立在多重网格上，虽然控制不受限时对偶状态与控制之间或是等式关系，但我们之所以仍然将离散问题放在多重网格上进行讨论，是因为它其实是一个更一般的框架而已经将同一套网格离散的情况包含进去了。
　　 关于Stokes流控制受限问题的后验误差估计与相关超收敛分析已经分别在文献[65]与[62]中得到讨论，本文将讨论状态受限的Stokes流控制问题的数值分析，并进一步较为系统地讨论并分析关于稳态Navier-Stokes流带有这些泛函型状态受限的问题.相比较而言，本文中分析相关拉格朗日乘子所用到的处理方法与文献[93]中的分析手段显然是不同的，而这里所得到的误差分析结果，与文献[17]中相比得到了明显改善，那里讨论了一组状态与控制都受限的椭圆方程最优控制问题。
　　 最近几年中，关于稳态Navier-Stokes方程状态受限控制问题已经开始有人研究，文献[31，32]中对于带有点态型约束条件的状态受限问题已经给出初步的理论结果，其中包括一阶必要和二阶充分条件的分析，对偶状态与状态约束集拉格朗日乘子的存在性与正则性讨论，以及相应于约束集扰动的Lipschritz稳定性的研究等方面的工作，但是，目前似乎尚无涉及有限元逼近与误差分析方面的工作，本文将对泛函型状态受限稳态Navier-Stokes流控制问题的有限元逼近及其误差分析进行研究。
　　 在文献[1]中Abergel和Temam对时间依赖的Navier-Stokes流的控制问题推导了一阶最优性条件并给出了梯度算法，在文献[88]中，汪更生则讨论了状态受限的时间依赖Navier-Stokes流控制问题在三维空间中的一些理论结果，文献[43]-[46]中Gnnzburger，Hou和Svobodny首次讨论了稳态Navier-Stokes流控制问题的理论方法与数值分析，其中并没有对控制分布受限或者状态受限的情况进行讨论，而且所得到的误差结果是在这样的假设下进行讨论的：整个一阶最优性条件的线性化系统定义了一个同胚；而Casas在文献[18]中给出了分布控制点态受限问题的有限元分析与误差估计，其中的数值分析没有用到上面所提到的假设，而是借助于所谓的二阶充分性条件，得到关于控制的逼近误差为一阶的结果，关于状态没有得出最优的L2逼近阶.一般情况下，对于一个非线性约束的优化问题进行数值分析，要涉及到其二阶条件的讨论，这方面的理论可参阅Bonnans与Shapiro的专著[13]，许多其他参考文献这里不再一一赘述。对于一个线性偏微分约束方程的二次泛函最优控制问题来说，众所周知，其一阶条件往往既是必要的也是充分的，如文献[63，70，77，93]中所分析的情况等等，而如果关于一个非线性偏微分方程做约束条件的最优控制问题做数值分析，讨论情况则复杂得多，这方面可以参考Casas等在文献[19]-[22]及其参考文献中关于最优性条件的分析工作。这里应该指出的是，如果对一个如前所指的非线性情况来进行如[70，77]中所谓的超收敛分析，那么离散的二阶条件似乎是必须要用到的，而这种分析在文献[19]-[22]中并未得到讨论，相对于文献[25，90]中所做工作，本文尝试对于非线性约束条件控制问题的二阶离散条件作出较为具体的讨论，并对于稳态Navier-Stokes流控制问题进行相应超收敛分析，从而给出状态逼近的最优阶L2-模误差估计。
　　 考虑到椭圆控制问题中，最优控制一般都是对偶状态到控制约束集中的投影，而正则区域中控制问题的对偶状态一般都有较高的正则性(比如二阶问题时嵌入连续函数空间)，因此，最优控制一般也是连续函数.基于上述事实，有关椭圆问题凸控制的超收敛分析也被许多学者所关注，最基本的模型，也就是控制点态受限的线性椭圆问题的超收敛在文献[70，77]中被研究；进一步地，控制受限的参数估计问题的超收敛分析也在文献[90]中被讨论并得到最优阶的误差估计。关于更为一般的控制问题，控制与状态都受限的半线性椭圆问题，文献[17]中给出了有限元离散与误差估计，本文将进一步探讨这种更为一般问题的超收敛分析，同时给出更为精确的误差估计，得到一个相对于文献[17]更优阶的误差估计。
　　 本文主要围绕Stokes流与稳态Navier-Stokes流状态受限最优控制问题的有限元离散，控制状态双受限非线性椭圆问题的超收敛分析进行讨论研究。其中相应问题的有限元误差估计，文中进行了较为具体而详细的讨论与分析。关于这些问题的数值离散，则多采取多重网格上的标准有限元逼近。本文试图对所有离散变量给出最优阶或者比先前结果更优阶的先验误差估计，同时，另一方面对相应流体控制问题推导后验误差估计，并得到等价的后验误差估计子。
　　 以下是各章内容简要：
　　 第一章中，研究控制逐点受限与状态受有限个不等式约束的半线性椭圆控制问题的超收敛分析，给出更为精确的有限元误差分析，结论表明，在同样的条件下，获得了一个比文献[17]中结论更优的有限元误差估计；同时，通过一个与文献[70]中同样的假设条件，得到有限元离散的的超收敛结论；这些结论在二维与三维空间中都成立。
　　 第二章中，讨论Stokes方程速度的L2-模受限的最优控制问题，主要结论是先验估计中得到关于控制与状态的最优阶误差估计，包括多种有限元进行离散的情况。
　　 第三章中，讨论Stokes方程速度的能量模受限最优控制问题的后验误差估计，推导出等价的关于所有离散变量的后验误差估计子，能够得出上述结果，主要是这里对于拉格朗日乘子与状态约束集的关系进行分析，而推导出关于乘子的一个显示表达式。
　　 第四章中，进一步探讨稳态Navier-Stokes流中速度受限最优控制问题，其中的约束条件放宽为同时多个泛函型不等式约束，因为约束方程变为一个非线性方程，所以这里不能再沿用上述线性问题的处理方法，借助一些经典的非线性问题的处理技巧，并结合该问题的特点，得出了与线性问题“同样好”的先验差估计结果，这里假设连续的最优状态是状态方程关于最优控制的一个非奇异解，从而这些结论也适用于较大范围内雷诺数的情况。
　　 第五章中，讨论了状态受限稳态Navier-Stokes流控制问题的自适应多重网格离散工作，分析后验误差估计并得到等价的误差估计子，其中关于状态变量既有H1-模的估计，也有L2-模的估计；这些结论适用于一般的雷诺数，即最优的状态为相应控制的一个非奇异解的情况都是成立的。
　　 第六章中，考虑单个泛函型状态受限椭圆控制模型的算法问题，基于拉格朗日乘子的显式表达式和半空间中解的存在唯一性，将一个带约束条件的控制问题转化为一个无约束的非线性控制问题进而构造其牛顿迭代格式，并通过算例与经典的Uzawa型算法比较，展示其快速收敛性。另外，每一章的末尾都附有相应的数值实验。